Vous assistez à un spectacle de magie. Le magicien fait appel à deux personnes dans le public, un homme et une femme. A l’homme, il remet un jeu de 52 cartes et lui demande de le mélanger. A la femme, il demande de songer à une carte du jeu. Celle-ci choisit l’as de pique. Le magicien se tourne alors vers l’homme, et sort une carte du jeu que ce dernier vient de mélanger. Quelle est la probabilité que cette carte soit l’as de pique?
Indiquez vos réponses dans les commentaires, de préférence avec une petite justification de la façon dont vous y êtes parvenu; c’est celle-ci qui est la plus importante.
EDIT : merci à tous les participants. Voici quelques éléments de réponse.
Ce petit test se trouve cité dans le dernier numéro de More or Less, l’émission de la BBC présentée par Tim Harford, par Paul Wilmott, un spécialiste de mathématiques financières, pour illustrer la façon dont celles-ci sont utilisées. Car il n’y a pas de bonne réponse à cette question, mais plusieurs possibles.
– La réponse immédiate est d’appliquer les probabilités : il y a une chance sur 52 de retirer l’as de pique d’un jeu de cartes bien battu.
– Mais cette réponse néglige le contexte : c’est un magicien qui va retirer la carte. Si l’on veut prendre cela en compte, alors il est possible de considérer que celui-ci a 100% de chances de sortir l’as de pique. On peut raffiner cette réponse : nous ne connaissons pas exactement le talent du magicien, et il peut se tromper. Dans ce cas, il faudra déduire son risque d’erreur de ce taux de 100%.
– Il est possible d’aller même plus loin : ce tour de magie est après tout extrêmement banal, c’est l’un des premiers exercices que l’on apprend lorsqu’on s’exerce aux tours de magie. Si le magicien fait un spectacle, il est possible qu’il souhaite produire un effet sur son auditoire en simulant une erreur. Peut-être qu’il fera exprès de ne pas sortir l’as de pique, mais le fera apparaître dans la poche de la dame quelques instants plus tard, après avoir montré que l’as de pique n’était pas dans le jeu; ou toute autre possibilité.
Ce qui est intéressant, si l’on en croit Wilmott, c’est que lorsqu’il présente ce test à des “quants” de la finance, ceux-ci répondent extrêmement souvent “une chance sur 52” qui est la réponse mathématique. Même lorsqu’il leur explique que l’on doit prendre en compte le contexte, ceux-ci manifestent une grande répugnance à considérer que la réponse chiffrée et mathématique ne soit pas “la bonne”. Ce qu’elle est si l’on prend le problème de façon réduite, mais pas forcément si l’on veut prendre en compte son contexte. Ce que cela suggère, c’est la fausse impression de “vérité” qui ressort de l’utilisation des mathématiques, et la fascination qu’exerce le chiffre sur notre façon de raisonner : le chiffre, pour peu qu’il provienne d’un calcul savant, est affecté d’une valeur psychologique qui conduit à oublier tout le reste. Cette fascination pour le chiffre, nous la retrouvons aussi dans le débat public et la façon dont le nombre, à lui seul, y semble producteur de sens. C’est oublier que dans la vie réelle, tout chiffre est construit.
Cela permet aussi de voir que le débat autour des modèles mathématiques de la finance n’aboutit à rien tant qu’il se limite à dire que les modèles sont “vrais” ou “faux”. C’est une question dépourvue de sens; un calcul peut être “juste” au sens de la logique formelle sans que cela ne nous apprenne grand-chose. Le problème du chiffre et du calcul, c’est qu’ils donnent un sentiment de certitude bien éloigné du degré réel de connaissance qu’ils apportent. Surtout, utiliser le calcul n’est pas neutre; calculer, en pratique, affaiblit certaines de nos capacités cognitives, celles qui relèvent de l’intuition et de la synthèse, ce que montre par exemple Mintzberg à propos des modèles de planification stratégique.
Il est aisé de considérer ce qui s’est produit dans les institutions financières au cours des dernières années de façon simpliste, en s’indignant de la cupidité ou de l’absence de scrupules de quelques-uns, et en se demandant quel ensemble d’incitations a pu produire cet effet – libre ensuite à chacun d’enfourcher son cheval de bataille favori (l’Etat qui déresponsabilise, le marché qui rend fou, la disparition des valeurs morales dans la modernité, que sais-je encore…). La réponse n’est pas là, mais dans les mécanismes organisationnels et psychologiques qui conduisent individus et organisations à substituer le calcul formel à la pensée. Cette connaissance est cruellement absente, peut-être parce que ceux-là même qui seraient les premiers à pouvoir effectuer cette étude – les chercheurs – sont aussi souvent les premiers à succomber à ce travers.
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Je dirais 1/52…
On rapporte le nombre de cas qui caractérisent l’événement "tirer l’as de pique en tirant une carte" (ce qui en l’occurrence est un cas unique) sur le nombre de cas possibles en tirant une carte. Chaque carte étant unique, ça nous fait 52 possibilités.
D’où une probabilité de 1/52.
Bah P=1 sinon il serait pas magicien.
Euh… 1 chance sur 52 ? j’invoquerais la loi de Bernoulli (variables indépendantes, tout ça tout ça)
42, non ?
Sinon, ça dépend. Si c’est un jeu contenant 1 seul as de pique, c’est 1/52. Si c’est un jeu contenant 52 as de pique, c’est 1. Si il n’en contient pas, 0. En supposant les trois acteurs honnêtes.
Plus de vingt minutes que le billet est posté et toujours pas de commentaire (ou alors Alexandre les garde un moment pour lui) et je ne vois pas le piège potentiel… Bon, je m’lance… Comme c’est un magicien, j’imagine qu’il y a 100 % de chances qu’il sorte la bonne carte, l’as de pique. S’il a en revanche sorti au hasard la carte du jeu de cinquante-deux cartes (toutes différentes), alors je dirais qu’il a une chance sur cinquante-deux (0,019) de sortir la bonne carte, c’est-à-dire l’as de pique. Alors…?
Bonjour,
Je dirais une chance sur 52. La probabilité de tirer l’as de pique est indépendante du fait de penser à cette carte au moment du tirage.
Sauf phénomène paranormal, mais toujours envisageable.
Je dirais très proche de 1, vu qu’il s’agit d’un tour de magie….
100%
Mathématiquement, c’est une chance sur 52, mais j’imagine qu’il y a piège.
Surtout : à quoi sert l’homme ? À mélanger des cartes ? Comment le magicien sort-il la carte ? Il prend la première ? Il choisit ?
1, puisque c’est un magicien.
je dirais 1/52 mais je sens le piège… Je ne le vois pas. la fille ne dit pas et ne montre pas la carte à laquelle elle songe ? Le magicien choisit au hasard. je dirais 1/52. par contre étant le gars, je partirai du principe qu’il y a fort peu de chances (si la femme et le magicien ne communique pas ) que le magicien montre la bonne carte. Ce qui, en tant qu’homme, en choisissant une autre carte j’augmenterai la probalité de tomber sur la bonne de façon sensible…
Environ 30 % je dirais… Je pars du principe que le magicien connaît son affaire et choisit la carte de son choix, donc s’il savait le choix de la femme il aurait 100 % de réussite.
L’être humain ne sachant pas faire un tirage aléatoire dans sa tête, le choix de la carte sera biaisé. J’imagine (peut-être à tort) un fort biais vers l’as de coeur, l’as de pique et la dame de coeur (j’ai lu que trèfle et carreau sont moins choisis que coeur et pique, et j’imagine que l’as sera plus choisi que d’autres valeurs. Pour la dame de coeur, simple intuition)
Ceci dit, en étant cynique à moins de 100 % je ne pense pas que le magicien présente son tour…
Bonjour,
Si le magicien connait son métier, il y a 100% de chance qu’il réussisse, même sans que ni la femme ni l’homme du public ne soient ses complices. Il lui suffit d’avoir une copie des 52 cartes dans sa manche et d’en sortir la bonne au bon moment puis de l’intervertir avec celle qu’il tire au hasard du paquet.
Pour le lien avec l’économie, j’ai du mal à voir quel carte vous allez sortir de votre manche; sinon que, quelque soit la situation économique que le sort à tiré, un bon économiste est toujours en mesure de démontrer à posteriori comment elle était absolument prévisible.
Ben moi, je dirais 1/52, non ? Il y a 52 cartes (différentes, hein ?), une seule est l’as de pique. Mais bon, j’ai jamais bien compris les probas en terminale ; j’ai bien peur que ma réponse soit celle du candide de service…
Une chance sur une. C’est un magicien, il a fait en sorte d’avoir une chance sur une (par divers moyens que je ne peux vous révéler).
Au vu de la toute première phrase, j’aurai tendance à dire que la probabilité que la carte tirée soit effectivement l’as de pique est de 1.
Comme c’est un spectacle de magie, il y a forcément un truc et donc la probabilité que la carte tirée par le magicien soit la bonne tend vers les 100%
100%
C’est un spectacle de magie, donc faut que ça marche, sinon, le magicien, il finira au chomdu, et par les temps qui courent, ça craint vraiment!
😉
100%. C’est un spectacle de magie, il y a donc un truc.
Si c’est Garcimore, une sur 53.
D’un point de vue bêtement mathématique, je ne pense pas me tromper en disant 1 sur 52 ?
Mais si on considère que tout magicien s’appuie sur des complices (comme une femme dans le public), et sur des cartes un peu spéciales (comme un jeu de 52 as de pique), je dirai 100% !
D’un point de vue bêtement mathématique, je ne pense pas me tromper en disant 1 sur 52 ?
Mais si on considère que tout magicien s’appuie sur des complices (comme une femme dans le public), et sur des cartes un peu spéciales (comme un jeu de 52 as de pique), je dirai 100% !
100% : c’est un magicien, donc logiquement, c’est l’aboutissement logique du tour qu’il tire l’as de pique.
S’il n’avait pas été magicien, j’aurais dit : 1/52.
Une chance sur 52, si le jeu n’est pas truqué. Le magicien pioche une carte parmi les 52, je ne vois pas d’autre probabilité.
Vite la réponse !!!!
Etant donné qu’il y a 52 cartes, jeu supposé non truqué, dont 4 as dont un seul de pic, il vient :
52 / (4 * 1) = 11.
Il y a donc 11 chances de tirer la dame de pique.
Presque 100%.
Le magicien connait son métier puisqu’il vit de son spectacle. Il est donc extrêmement peu probable qu’il rate son tour en prenant une carte autre que celle choisie par la femme (qu’elle soit complice ou non).
Il faut que la carte tirée soit :
– une pique
– un as
Et on sait qu’il y a 13 cartes par couleur. La probabilité de tirer un as de pique et donc de :
P = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52
1/52, parce qu’il va tirer une carte sur cinquante-deux 😉
Naïvement : 1/52 si c’est un débutant et 1 si c’est un magicien confirmé. Je doute toutefois que ce soit la bonne réponse.
Je ne comprends pas d’où peut venir le danger, donc je me lance…
La probabilité est de 1 sur 52 car il n’y a qu’un as de pique enfoui au hasard dans un lot de 52 cartes…
Mais je sens se rapprocher la désillusion…
1. (sauf si c’est un mauvais magicien, auquel cas son spectacle ne durera pas lontemps….)
On suppose que les deux personnes n’ont aucune connivence avec le magicien, que le jeu de 52 cartes comporte bien toutes les cartes qu’il est censé comporter, que les cartes sont indistinguables les unes des autres (pas marquées), qu’il n’a pas de carte dans ses manches, etc.
Le magicien n’a aucun moyen de savoir quelle carte va choisir la femme, ni quelle carte il va tirer du paquet mélangé par l’homme. Quelle que soit la carte demandée par la femme, il aura donc une chance sur 52 de tirer la carte, soit une probabilité d’un peu moins de 0,02.
Qui s’y frotte s’y pique, donc P=1.
Ca c’est de l’analyse combinatoire…
Si je ne me trompe pas: on choisit 1 carte sur 52. on ne tient pas compte de la couleur. donc on a C(1;52) avec 1 en exposant et 52 en indice. C(1;52)=52!/(1! x (52! – 1)) = 1 (! = factorielle)
Bon… Mais le doute me taraude.
La probabilité est de 0 puisque le magicien est de mèche avec le type à l’entrée, ancien élève de N. El Karoui, qui vendait 1€ sous le manteau des MBS (Magician Backed Security) truqués.
Problème classique d’antisélection, que Nicolas Sarkozy va résoudre en améliorant la régulation des spectacle de music-hall.
hum… ou voulez vous en venir avec ce test ? les magiciens ne compte pas sur la chance pour realiser leur tours ! sinon dans le cas contraire je dirais 1 sur 52 a moins qu’il soit prouve par je ne sais quelle etude que l’as de pique soit la carte la plus souvent choisie par les femmes peut etre !
Je vais supposer qu’il n’y a pas de "magie" autre que les probabilités (et donc que le magicien peut se tromper)
La première intuition, c’est 1 chance sur 52. Mais en fait, ce résultat suppose plusieurs choses :
1. le choix de la carte se fera avec une probabilité identique pour chaque carte
2. le mélange est "parfait", dans le sens où il ne restera rien d’un éventuel ordre préparé à l’avance
3. le jeu contient 52 cartes différentes
Le premier point est à mon avis faux. En pratique, j’aurais tendance à penser que les as et les figures sont choisies plus souvent que les autres cartes. La probabilité que la femme choisisse l’as de pique est certainement beaucoup plus élevée que 1/52 (estimation au pif, je dirais que ça tourne plutôt autour de 1/10)
Pour le point 2, le mélange n’est surement pas parfait, mais du point de vue du magicien, il est impossible de prévoir quoi que ce soit (il y a beaucoup de façons de mélanger des cartes)
Pour le point 3, en raison du point 1, le magicien aura intérêt à truquer le jeu, et à mettre plusieurs as de pique.
La probabilité réelle dépendra donc de l’estimation de la distribution du choix de la carte que le magicien aura faite au préalable. Si il estime qu’il y a environ une chance sur 10 pour que l’as de pique soit choisi, il en mettra peut-être 5 dans le jeu, donnant ainsi une probabilité de 5/52.
Effectivement, si l’on était sur qu’il est dans l’intention du magicien de tirer l’as de pique, en considérant comme nulle la probabilité que le magicien fasse une erreur, on aurait P=1. Mais qui nous dit que le magicien a l’intention de tirer l’as de pique (la "bonne" carte)? Vous n’avez jamais vu un tour de magie ou on croit que le magicien va tirer la bonne carte, mais en fait en tire une autre et la bonne carte et dans la poche du pompier de service (ou dans les intestins d’une colombe qui était au fond du chapeau du magicien)?
Sylvain Mirouf, à l’époque, était très fan de ces effets de "raté", maintenant devenus communs pour les magiciens.
Donc en fait la question c’est: quelle est la probabilité qu’il soit dans l’intention du magicien de tirer l’as de pique à ce moment là du tour?
Et là, je sèche… 1/52?
"La réponse n’est pas là, mais dans les mécanismes organisationnels et psychologiques qui conduisent individus et organisations à substituer le calcul formel à la pensée. "
Ces jeunes gens, partant de leur état de nature, ont été formés à ça, me semble-t-il. Ils sont très largement incités à se conformer à ce modèle grâce à lequel une position sociale enviable leur est assurée.
(non je ne veux tirer aucune conclusion prématurée à ce stade)
…juste une question de "décidément naïf" : c’est utile de sortir les combinatoires pour une carte ?
Bonjour j’arrive après la bataille mais j’étais de garde cette nuit (dur)
Ce que je pense qu’il faut retenir :
si vous CROYEZ le prestidigitateur habile, vous accordez 100 %. Solution la plus logique car vous êtes au cabaret.
si vous IMAGINEZ qu’il est un vrai thaumaturge (vous êtes un enfant) vous lui accordez 100 %
Si vous raisonnez sur le jeu de carte en faisant abstraction du spectacle c’est 1/52.
Dans les deux premiers cas vous êtes manipulés : par argument d’autorité ou pensée magique.
Dans le dernier cas, on ne vous la fait pas mais vous êtes dans l’erreur.
Selon qu’on focalise sur les cartes ou celui qui tient les cartes le résultat diffère.
Ben…CAC40 ?
Il y a une précision à apporter : les participants à votre petit test ont proposé une solution sans connaître celle des autres puisqu’elle n’était pas encore affichée.
Il y a eu 12 réponses (dont la mienne) pour 100% sur 37.
Question sur ce test : à partir d’une inférence bayéso-pifo-métrique peut-on en conclure qu’à peu près 2/3 des participants étaient des "Quants" ?
excellente analyse, qui s’applique de façon générale à toute utilisation du raisonnement mathématique en économie
Le problème posé de manière plus générale est: comment les croyances (individuelles, pour les "croyances collectives" c’est encore autre chose) se forment-elles? La théorie bayésienne usuelle ne dit quasiment rien dans des situations où l’information est insuffisante (ici, le jeu est-il truqué ou non par exemple); toute "croyance subjective" est admissible!
ha j’ai trouvé !
Bon ça me rassure je ne suis pas le seul.
Ma répugnance pour les chiffres fait de moi un digne fils de l’école Autrichienne 🙂
Commentaire effaçable.
Deux fautes de frappes :
"Même lorsqu’il leur explique qu’il que l’on doit prendre en compte le contexte, "
Et, presque à la fin :
"Cette connaissance est cruellement absence,"
Pour le reste, excellent billet, comme toujours. Je regrette de ne pas vous avoir eu comme prof chaque fois que je lis ce blog. Très intéressé, notamment, d’apprendre que l’intelligence du calcul tend à limiter l’activité de synthèse. Peut-être parce que calculer donne l’illusion d’une synthèse ?
Réponse de Alexandre Delaigue
Merci pour ces corrections. J’ai posté tard, j’étais un peu trop fatigué pour me relire. Le fait que le calcul affaiblisse la capacité à synthétiser et à adopter une vision “large” a été mis en évidence dans pas mal d’expériences cognitives (il y a un certain nombre d’exemples à ce sujet dans “blink” de Gladwell). Les deux activités sollicitent le cerveau de façon différente (les neurosciences le vérifient en constatant que des parties différentes de celui-ci sont sollicitées) et surtout, le “retour en arrière” (synthétiser après avoir calculé) est très difficile.
Il n’y a qu’une réponse. Magicien débutant qui fait son travail proprement ou expert qui souhaite simuler une erreur, l’as de pique a…une certaine chance de sortir.
Et si le magicien s’appelle Madoff, peut-être ne reste-t-il en fait aucun as dans le jeu (qui ne lui appartient plus d’ailleurs), il y a même une chance que le FBI débarque avant que la carte soit tirée. Nous ne saurons donc jamais…
"Très intéressé, notamment, d’apprendre que l’intelligence du calcul tend à limiter l’activité de synthèse. Peut-être parce que calculer donne l’illusion d’une synthèse ?"
C’est le principe même de cette technique qu’on nomme l’agrégation ou la construction d’agrégats.