1- Soit une s\u00e9rie de 10^1000007 z\u00e9ros et uns, g\u00e9n\u00e9r\u00e9s cons\u00e9cutivement de fa\u00e7on al\u00e9atoire, avec une chance sur deux d’obtenir l’un ou l’autre (comme si l’on jetait une pi\u00e8ce \u00e9quilibr\u00e9e un tr\u00e8s grand nombre de fois). Combien de s\u00e9quences distinctes, ne se recouvrant pas, de un million de z\u00e9ros cons\u00e9cutifs, devrait-on s’attendre \u00e0 rencontrer au minimum?<\/p>\n
2- en fonction de la r\u00e9ponse \u00e0 la premi\u00e8re question, que pensez-vous de cet article<\/a>?<\/p>\n Postez vos r\u00e9ponses dans les commentaires, r\u00e9ponse \u00e0 venir.<\/p>\n EDIT : r\u00e9ponses post\u00e9es.<\/p>\n Bravo \u00e0 tous les participants au jeu. Bravo notamment \u00e0 Jean-Edouard, qui a bien compris dans quel sens il faut se poser le probl\u00e8me.<\/p>\n – Premi\u00e8re question : La question et sa r\u00e9ponse se trouvent dans l’excellent the drunkard’s walk<\/a>, de L. Mlodinow, un bon livre pour comprendre les probabilit\u00e9s, et surtout, pourquoi nous ne comprenons que difficilement les probabilit\u00e9s. Comme certains l’ont not\u00e9, le nombre minimal de s\u00e9quences d’un million de z\u00e9ros est \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro; par contre, ce nombre minimal a tr\u00e8s peu de chances de se produire. Dans une s\u00e9rie al\u00e9atoire de 10^1000007 z\u00e9ros et uns, on est pratiquement certains de rencontrer au moins 10 s\u00e9quences distinctes d’un million de z\u00e9ros. Et ce r\u00e9sultat est assez contre-intuitif : nous n’imaginons que difficilement que le hasard puisse produire ce genre de r\u00e9sultats, qui nous semble \u00ab\u00a0trop ordonn\u00e9\u00a0\u00bb pour \u00eatre plausible. Mettez-vous \u00e0 la place d’un math\u00e9maticien qui ach\u00e8te un logiciel g\u00e9n\u00e9rateur de nombres al\u00e9atoires, le teste, et tombe sur une s\u00e9rie d’une centaine de z\u00e9ros cons\u00e9cutifs : sa r\u00e9action imm\u00e9diate sera de penser que le logiciel a un probl\u00e8me. De la m\u00eame fa\u00e7on, si un jour au loto tombe la s\u00e9rie 1-2-3-4-5-6, on ne manquera pas de gens pour se dire que la loterie a un probl\u00e8me. C’est un principe de base : confront\u00e9s \u00e0 de l’al\u00e9atoire, nous avons tendance \u00e0 voir de l’ordre; confront\u00e9s \u00e0 de l’ordre, nous avons tendance \u00e0 voir du hasard. Nous sommes tr\u00e8s mal outill\u00e9s pour identifier r\u00e9ellement le hasard.<\/p>\n – Le rapport avec la seconde question? l’article cit\u00e9 \u00e9voque la s\u00e9rie d’accidents a\u00e9riens survenue r\u00e9cemment, et interroge un pilote. Immanquablement, celui-ci lie l’\u00e9volution des accidents avec des changements survenus dans l’aviation civile, notamment la prise du pouvoir par des \u00ab\u00a0financiers\u00a0\u00bb, ceux-ci \u00e9tant, bien entendu, r\u00e9tifs vis \u00e0 vis de la s\u00e9curit\u00e9 qui co\u00fbte trop cher pour satisfaire leur insatiable app\u00e9tit de profits.<\/p>\n Mais le probl\u00e8me est le suivant : m\u00eame si la probabilit\u00e9 de risque d’accidents a\u00e9riens est inchang\u00e9e depuis 10 ans, m\u00eame d’ailleurs si elle diminue (n’oublions pas que le trafic a\u00e9rien augmente r\u00e9guli\u00e8rement, ce qui veut dire que de toute fa\u00e7on, il y aura de plus en plus d’accidents, m\u00eame si le risque d’accident diminue), il est normal que, de temps \u00e0 autres, se produisent des s\u00e9ries d’accidents. Ce probl\u00e8me est le m\u00eame que celui de la \u00ab\u00a0main chaude\u00a0\u00bb en sport<\/a> : m\u00eame si la probabilit\u00e9 qu’un joueur de basket atteigne le panier reste inchang\u00e9e, il y aura des moments ou un joueur r\u00e9ussira une impressionnante s\u00e9rie de paniers, donnant l’impression qu’il est temporairement capable de tout r\u00e9ussir, que ses performances ont pour un temps chang\u00e9. Une s\u00e9rie d’\u00e9v\u00e8nements rares ne nous apprend pas grand-chose sur l’\u00e9volution de leur probabilit\u00e9 d’occurence.<\/p>\n Apr\u00e8s tout, m\u00eame si le risque du transport a\u00e9rien avait augment\u00e9 au cours des derni\u00e8res ann\u00e9es, cela ne changerait pas beaucoup la probabilit\u00e9 d’avoir une s\u00e9rie d’accidents en quelques jours; cette probabilit\u00e9 resterait, de toute fa\u00e7on, faible mais non nulle. Il n’y a donc pas tellement d’interpr\u00e9tation \u00e0 retirer de la s\u00e9rie r\u00e9cente d’accidents sur l’\u00e9volution du danger \u00e0 prendre l’avion. Mais ce n’est pas comme cela que nous raisonnons. Et non, nous ne raisonnons pas de fa\u00e7on Bayesienne, parce que le raisonnement Bayesien serait le suivant : sachant qu’une telle s\u00e9quence d’accidents est survenue, quelle est la probabilit\u00e9 qu’elle soit li\u00e9e \u00e0 une augmentation du risque, plut\u00f4t qu’au hasard? comme une augmentation du risque n’a que peu de chances de produire beaucoup plus de s\u00e9ries par rapport au simple hasard, nous devons en conclure que le hasard a beaucoup plus de chances d’\u00eatre \u00e0 l’origine de cette s\u00e9rie plut\u00f4t qu’une \u00e9l\u00e9vation du risque.<\/p>\n Il y a m\u00eame une autre fa\u00e7on d’\u00eatre Bayesien, qui consiste \u00e0 partir du fait que nous avons tendance \u00e0 voir de l’ordre et des causalit\u00e9s dans le hasard. Sachant qu’une s\u00e9quence m’apparaissant comme \u00ab\u00a0anormale\u00a0\u00bb est survenue, quelle est la probabilit\u00e9 que je l’interpr\u00eate \u00e0 tort comme le fruit de causalit\u00e9s plut\u00f4t que comme du hasard? la connaissance de nos biais cognitifs nous permet de nous dire que, contrairement \u00e0 ce que notre intuition nous crie, cette s\u00e9quence est probablement due au hasard. Mais nous avons bien du mal \u00e0 nous en convaincre.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" 1- Soit une s\u00e9rie de 10^1000007 z\u00e9ros et uns, g\u00e9n\u00e9r\u00e9s cons\u00e9cutivement de fa\u00e7on al\u00e9atoire, avec une chance sur deux d’obtenir l’un ou l’autre (comme si l’on jetait une pi\u00e8ce \u00e9quilibr\u00e9e un tr\u00e8s grand nombre de fois). 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