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Allez, cette semaine, c’est sp\u00e9cial football et \u00e9conomie. Aujourd’hui : comment tirer un penalty \u00e0 l’aide de la th\u00e9orie des jeux?<\/p>\n
Le tir d’un penalty (ou d’un tir au but lors d’une s\u00e9ance \u00e9ponyme) est typiquement le genre de probl\u00e8me d’interaction strat\u00e9gique qui int\u00e9resse la th\u00e9orie des jeux. Le tireur a la possibilit\u00e9 de tirer dans diverses directions (gauche, droite, milieu, haut, bas…); un bon penalty \u00e9tant tir\u00e9 \u00e0 une vitesse sup\u00e9rieure \u00e0 100 km\/h (pour les aspects physiques et m\u00e9caniques du football, allez donc lire ce livre<\/a>), le gardien ne peut esp\u00e9rer d\u00e9tecter la direction du ballon apr\u00e8s le tir : il doit donc anticiper. Il doit donc se demander : o\u00f9 mon adversaire va-t-il tirer? mais le tireur, lui-m\u00eame, doit se demander : sachant que le gardien va se demander ou je vais tirer, ou dois-je tirer pour le tromper? etc, etc.<\/p>\n Un tireur de penalty a en g\u00e9n\u00e9ral un c\u00f4t\u00e9 plus fort que l’autre. Un droitier tirera de meilleurs penaltys vers la gauche. On pourrait donc penser qu’il doit tirer souvent dans cette direction, pour am\u00e9liorer ses chances; mais s’il tire trop souvent dans cette direction, les gardiens de but vont avoir tendance \u00e0 anticiper cela, et plonger sur le c\u00f4t\u00e9 fort du tireur : le tireur doit donc, de mani\u00e8re al\u00e9atoire et impr\u00e9visible, tirer de temps en temps de son mauvais c\u00f4t\u00e9.<\/p>\n Mais avec quelle fr\u00e9quence? Tirer une fois sur deux en moyenne \u00e0 gauche, et une fois sur deux \u00e0 droite (en simplifiant et en consid\u00e9rant qu’il n’y a que deux directions possibles) n’est pas forc\u00e9ment optimal : le tireur perd l’avantage qu’il a sur un c\u00f4t\u00e9. Il se trouve que le th\u00e9or\u00e8me de Von Neumann et Morgenstern permet de calculer cette fr\u00e9quence optimale. La fr\u00e9quence optimale est d\u00e9finie par le fait que chaque choix de direction de tir doit avoir autant de chances de r\u00e9ussite qu’un autre. De m\u00eame, il existe une fr\u00e9quence optimale pour aller \u00e0 gauche et \u00e0 droite pour le gardien de but.<\/p>\n J’entends d’ici les ricanements : ha ha, vous supposez que les joueurs de football, qui en g\u00e9n\u00e9ral arr\u00eatent leurs \u00e9tudes \u00e0 l’or\u00e9e du brevet des coll\u00e8ges, vont bien entendu calculer des fr\u00e9quences d’\u00e9quilibre en strat\u00e9gie mixte \u00e0 l’aide de math\u00e9matiques sophistiqu\u00e9es. Encore ces \u00e9conomistes qui font des mod\u00e8les irr\u00e9alistes et qui oublient de mettre l’homme au coeur de leurs mod\u00e8les!<\/p>\n Eh bien, il se trouve que non contents d’avoir d\u00e9termin\u00e9 la strat\u00e9gie optimale du tireur de penalty, les \u00e9conomistes se sont pench\u00e9s sur la validation empirique. Les bons footballeurs suivent-ils, sans le savoir, l’axiomatique de Von Neumann et Morgenstern? Pour le tester, il suffit d’observer un \u00e9chantillon cons\u00e9quent de tirs de penaltys. Supposons que pour un joueur donn\u00e9, la proportion optimale soit 2\/3 \u00e0 droite, 1\/3 \u00e0 gauche. Suit-il ces proportions? Ses tirs sont-ils vraiment al\u00e9atoires (ou au contraire, utilise-t-il une alternance ais\u00e9ment d\u00e9celable)? Se sont coll\u00e9s \u00e0 cette d\u00e9licate mesure l’in\u00e9vitable Steven Levitt (avec Chiappori et Groseclose)<\/a>, et, cit\u00e9 r\u00e9cemment<\/a> par Tim Harford, Ignacio Palacios-Huerta<\/a>.<\/p>\n Leur conclusion est sans \u00e9quivoque : les grands joueurs sont aussi de magnifiques th\u00e9oriciens des jeux, qui intuitivement, appliquent exactement les strat\u00e9gies optimales. Un joueur comme Zidane, ou un gardien comme l’italien Buffon, sont exactement \u00e0 l’\u00e9quilibre que pr\u00e9dit la th\u00e9orie. Il appara\u00eet que les footballeurs professionnels sont en g\u00e9n\u00e9ral tr\u00e8s proches du mod\u00e8le, \u00e0 une exception pr\u00e8s, signal\u00e9e par Steven Levitt dans son blog<\/a> : les tirs au milieu des cages. Les tireurs tirent bien moins souvent au milieu du but adverse qu’ils ne devraient le faire. Pour une raison simple apparemment : si le tireur tire d’un c\u00f4t\u00e9 et que le gardien anticipe correctement, le joueur a une excuse. Mais tirer au milieu du but, et voir son penalty arr\u00eat\u00e9 par le gardien, c’est passer pour un bleu, et subir une forte humiliation.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Allez, cette semaine, c’est sp\u00e9cial football et \u00e9conomie. Aujourd’hui : comment tirer un penalty \u00e0 l’aide de la th\u00e9orie des jeux? Le tir d’un penalty (ou d’un tir au but lors d’une s\u00e9ance \u00e9ponyme) est typiquement le genre de probl\u00e8me d’interaction strat\u00e9gique qui int\u00e9resse la th\u00e9orie des jeux. 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