{"id":1450077,"date":"2020-05-04T10:25:38","date_gmt":"2020-05-04T09:25:38","guid":{"rendered":"http:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/?p=1450077"},"modified":"2020-05-04T10:34:09","modified_gmt":"2020-05-04T09:34:09","slug":"le-probleme-avec-la-courbe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/le-probleme-avec-la-courbe\/","title":{"rendered":"Le probl\u00e8me avec la courbe. \u00c9dition Covid-19"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Dans le cadre d\u2019un cours que j\u2019ai r\u00e9organis\u00e9 compte tenu des \u00e9v\u00e8nements actuels, j\u2019ai mis le nez dans les bases des mod\u00e8les \u00e9pid\u00e9miologiques. Pourquoi faire \u00e7a ? Pas du tout pour jouer \u00e0 l\u2019\u00e9pid\u00e9miologiste et vous expliquer ce qu\u2019il va se passer dans le futur. Simplement parce que pour mieux comprendre les enjeux \u00e9conomiques du Covid-19, ces mod\u00e8les sont utiles, en ce sens qu\u2019ils donnent des param\u00e8tres \u00e0 inclure dans les mod\u00e9lisations \u00e9conomiques ou de politiques publiques. C’est par exemple ce que fait en France Christian Gollier<\/a> depuis quelques semaines pour \u00e9valuer les co\u00fbts nets des diff\u00e9rentes strat\u00e9gies envisageables. Ce billet n\u2019a pas vocation \u00e0 donner autre chose qu\u2019un r\u00e9sum\u00e9 et n\u2019a aucune pr\u00e9tention scientifique exhaustive. Le degr\u00e9 de rigueur du formalisme est limit\u00e9 au minimum. Si vous voulez des pr\u00e9sentations plus solides, la toile en regorge. En conclusion, je donne un avis personnel, conforme au message contenu dans Nos phobies \u00e9conomiques<\/em> : comprendre un peu mieux, c\u2019est toujours \u00e7a de pris face aux situations anxiog\u00e8nes. Mais s\u00fbrement pas une panac\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Le mod\u00e8le de r\u00e9f\u00e9rence<\/h3>\n\n\n\n

Ce mod\u00e8le est appel\u00e9 mod\u00e8le SIR (Susceptible, Infected, Retired). On\ndoit ce mod\u00e8le \u00e0 William Ogilvy Kermack et Anderson Gray McKendrick, qui en ont\nformul\u00e9 sa premi\u00e8re version en 1927. C\u2019est une version \u00e9labor\u00e9e de ce mod\u00e8le\nqui sert notablement de boussole aux autorit\u00e9s publiques de la plupart des pays\ndu monde durant l\u2019\u00e9pid\u00e9mie de Covid-19. Au travers notamment des publications\nde l\u2019\u00e9pid\u00e9miologiste Neil Ferguson, de l\u2019Imperial College of London.<\/p>\n\n\n\n

Il part d\u2019une population de taille N dans laquelle on distingue trois\ncat\u00e9gories (compartiments) : les individus sains (en nombre S), les\nindividus infect\u00e9s (I) et les individus retir\u00e9s (gu\u00e9ris ou morts, R). Dans une\n\u00e9pid\u00e9mie, il existe une probabilit\u00e9 donn\u00e9e de passer d\u2019un \u00e9tat \u00e0 l\u2019autre.\nChaque jour, des gens sains sont infect\u00e9s et des gens infect\u00e9s meurent ou\ngu\u00e9rissent.<\/p>\n\n\n\n

Plusieurs param\u00e8tres vont d\u00e9terminer le rythme d\u2019\u00e9volution des trois\npopulations et donner ainsi l\u2019\u00e9volution de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie. On peut \u00e9num\u00e9rer :\nla probabilit\u00e9 que lors d\u2019un contact avec une personne infect\u00e9e une personne\nsaine soit infect\u00e9e, la probabilit\u00e9 qu\u2019un individu sain entre en contact avec\nune personne infect\u00e9e et contracte le virus, la vitesse de gu\u00e9rison, le taux de\nd\u00e9c\u00e8s, etc.<\/p>\n\n\n\n

Chacun de ces \u00e9l\u00e9ments peut \u00eatre affin\u00e9. On peut par exemple\ndistinguer les populations selon l\u2019\u00e2ge, le sexe, la zone g\u00e9ographique, etc.\nsachant que ces sous-populations ne r\u00e9agiront pas forc\u00e9ment de la m\u00eame fa\u00e7on au\nvirus ou que la probabilit\u00e9 qu\u2019elles se rencontrent est plus faible si elles\nfont partie de groupe diff\u00e9rents. On peut ajouter un compartiment prenant en\ncompte la dur\u00e9e d\u2019incubation et les porteurs asymptomatiques (mod\u00e8le SEIR). On\npeut adjoindre des probabilit\u00e9s \u00e0 certains param\u00e8tres et introduire l\u2019effet du\nhasard (mod\u00e8les stochastiques). On peut, pour les \u00e9pid\u00e9mies durables, ajouter\ndes param\u00e8tres d\u00e9mographiques (natalit\u00e9 et mortalit\u00e9 autre que li\u00e9e \u00e0 l\u2019\u00e9pid\u00e9mie).\nOn peut \u00e9galement introduire dans les mod\u00e8les les politiques publiques, telles\nqu\u2019un confinement (qui r\u00e9duira la probabilit\u00e9 de contact, par exemple), qu\u2019il\nsoit g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 ou appliqu\u00e9 uniquement aux individus infect\u00e9s ou consid\u00e9r\u00e9s\ncomme tels. On a ainsi les bases permettant de comprendre comment l\u2019\u00e9pid\u00e9mie\ndevrait se comporter et ce qui peut \u00eatre fait pour modifier son \u00e9volution.<\/p>\n\n\n\n

Une pr\u00e9sentation un peu formalis\u00e9e du mod\u00e8le<\/h3>\n\n\n\n

Ceci est la forme la plus simple possible du mod\u00e8le SIR. L\u2019usage de\nquelques \u00e9quations pour pr\u00e9senter le mod\u00e8le est, me semble-t-il, une aide plus\nqu\u2019une difficult\u00e9, m\u00eame pour ceux qui ont du mal avec \u00e7a.<\/p>\n\n\n\n

Les variables et param\u00e8tres sont d\u00e9crits ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n

St<\/sub>, les personnes saines au jour t.
It<\/sub>, les personnes infect\u00e9es.
Rt<\/sub>, les personnes retir\u00e9es (gu\u00e9ries ou d\u00e9c\u00e9d\u00e9es).
N la population totale, suppos\u00e9e constante ici.
\u00c0 tout instant, par construction, on a St <\/sub>+ It <\/sub>+ Rt <\/sub>= N<\/p>\n\n\n\n

Le sch\u00e9ma g\u00e9n\u00e9ral du mod\u00e8le peut \u00eatre r\u00e9sum\u00e9 ainsi :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u03b2t<\/sub> est le taux de contagion au temps t. Il donne le taux\nauquel les individus sains rencontrent des individus infect\u00e9s et d\u00e9veloppent la\nmaladie. Il d\u00e9pend de la probabilit\u00e9 de contracter la maladie lors d\u2019un contact\net des fr\u00e9quences de contact entre individus dans la population, qu\u2019ils soient\nsains ou infect\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

\u03bdt<\/sub> est le taux de retrait. Il traduit le pourcentage\nd\u2019individus qui passent de l\u2019\u00e9tat I \u00e0 l\u2019\u00e9tat R chaque jour. 1\/\u03bd donne le nombre\nde jours pour sortir de l\u2019\u00e9tat I, soit le nombre de jours de maladie avant la\ngu\u00e9rison ou le d\u00e9c\u00e8s.<\/p>\n\n\n\n

Le mod\u00e8le est un mod\u00e8le d\u2019\u00e9quations diff\u00e9rentielles. J\u2019en fais une\npr\u00e9sentation en temps discret ici, qui me semble plus facile \u00e0 lire pour ceux\nqui ne sont pas familiers avec les notations diff\u00e9rentielles. L\u2019\u00e9volution des\ndiff\u00e9rentes cat\u00e9gories est r\u00e9sum\u00e9e ainsi :<\/p>\n\n\n\n

St+1<\/sub> = St<\/sub> – \u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N<\/p>\n\n\n\n

Un jour donn\u00e9, le nombre de personnes saines est \u00e9gal au nombre de\npersonnes saines la veille, moins celle qui ont \u00e9t\u00e9 infect\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

Le nombre de nouveaux cas d\u2019infection \u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N\nest le produit de \u03b2t, St et It<\/sub>\/N.<\/p>\n\n\n\n

It<\/sub>\/N donne la proportion de contacts d\u2019un individu avec un individu infect\u00e9. Ou la probabilit\u00e9 qu\u2019un contact donn\u00e9 soit r\u00e9alis\u00e9 avec un individu infect\u00e9. C\u2019est une probabilit\u00e9 identique pour n\u2019importe qui, ce qui peut poser probl\u00e8me pour le r\u00e9alisme du mod\u00e8le. On en parle un peu plus loin.<\/p>\n\n\n\n

Pour une fr\u00e9quence de contacts typique dans la population (r\u00e9sum\u00e9e\ndans \u03b2t<\/sub>), un individu va donc avoir une probabilit\u00e9 d\u2019\u00eatre infect\u00e9\nqui est \u03b2t<\/sub> \u00d7 It<\/sub>\/N (probabilit\u00e9 de rencontrer quelqu\u2019un,\nqu\u2019il soit infect\u00e9 et lui transmette effectivement la maladie).<\/p>\n\n\n\n

Lorsqu\u2019on applique cette probabilit\u00e9 \u00e0 toute la population des\nindividus sains St<\/sub>, on a donc un nombre de nouveaux cas St<\/sub>\n\u00d7 (\u03b2t<\/sub> \u00d7 It\/N).<\/p>\n\n\n\n

It+1<\/sub> = It<\/sub> + \u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N\n– \u03bdt<\/sub>It<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Le nombre de personnes infect\u00e9es un jour donn\u00e9 est celui de la veille,\nplus celles qui ont contract\u00e9 la maladie le jour donn\u00e9 (\u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N),\nmoins celles qui se retirent, gu\u00e9ries ou d\u00e9c\u00e9d\u00e9es (\u03bdt<\/sub>It<\/sub>).<\/p>\n\n\n\n

On peut noter au passage que le nombre de nouveaux cas quotidien est It+1<\/sub> – It<\/sub> = \u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N – \u03bdt<\/sub>It<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Rt+1<\/sub> = Rt<\/sub> + \u03bdt<\/sub>It<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Les personnes retir\u00e9es un jour sont celles qui l\u2019\u00e9taient la veille,\nplus celle qui sont retir\u00e9es ce jour.<\/p>\n\n\n\n

On va pouvoir parler d\u2019\u00e9pid\u00e9mies si le nombre de personnes infect\u00e9es\naugmente, donc si le nombre de nouveaux cas quotidiens It+1<\/sub> – It<\/sub>\n= \u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N – \u03bdt<\/sub>It <\/sub> est positif.<\/p>\n\n\n\n

Dans ce cas, on a \u03b2t<\/sub>It<\/sub>St<\/sub>\/N – \u03bdt<\/sub>It<\/sub>\n> 0<\/p>\n\n\n\n

D\u2019o\u00f9 : \u03b2t<\/sub>St<\/sub>\/N > \u03bdt<\/sub>, que l\u2019on\npeut encore r\u00e9\u00e9crire :<\/p>\n\n\n\n

\u03b2t<\/sub>St<\/sub>\/ \u03bdt<\/sub>N > 1<\/p>\n\n\n\n

\u03b2t<\/sub>St<\/sub>\/ \u03bdt<\/sub>N est le \u00ab nombre de\nreproduction \u00bb, not\u00e9 R (\u00e0 ne pas confondre avec R pour\n\u00ab retir\u00e9 \u00bb).<\/p>\n\n\n\n

Le d\u00e9sormais c\u00e9l\u00e8bre \u00ab nombre de reproduction de base \u00bb R0<\/sub>\n= \u03b20<\/sub>S0<\/sub>\/ \u03bd0<\/sub>N a une signification\nparticuli\u00e8re : c\u2019est le nombre d\u2019individus qui seront infect\u00e9s suite \u00e0\nl\u2019introduction d\u2019un individu malade dans une population totalement saine,\nc\u2019est-\u00e0-dire lorsque S0<\/sub> = N. En d\u2019autres termes, il indique \u00e0 la\nbase de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie le nombre de personnes qu\u2019un individu peut contaminer. On\nsait que pour le Covid-19 ce chiffre est compris entre 2 et 3. Finalement, pour\nS0<\/sub> = N, on peut d\u00e9duire R0<\/sub> = \u03b20<\/sub>\/ \u03bd0<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Le nombre de reproduction de base sera donc d\u2019autant plus \u00e9lev\u00e9 que le\ntaux de contagion initial \u03b20 <\/sub>est \u00e9lev\u00e9 et que le taux de retrait\ninitial \u03bd0<\/sub> est faible. Et inversement.<\/p>\n\n\n\n

Le d\u00e9clin de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie arrive lorsque R passe sous 1 (voir plus\nloin).<\/p>\n\n\n\n

Pour estimer l\u2019\u00e9volution de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie, il est impossible de\nd\u00e9terminer analytiquement une \u00e9quation du type It<\/sub> = f(t), o\u00f9 f\nserait une fonction qui donnerait le nombre de personnes infect\u00e9es au cours du\ntemps, en fonction des param\u00e8tres du mod\u00e8le. Mais on peut faire des simulations\nnum\u00e9riques. Cela signifie par exemple que l\u2019on va introduire un patient 0,\ndonner \u00e0 I0<\/sub> la valeur 1, en d\u00e9duire que S0 <\/sub>= N – 1 et\ncalculer les valeurs de S, I et R au fil du temps gr\u00e2ce aux \u00e9quations dont on\ndispose (la valeur des param\u00e8tres \u00e9tant connue).<\/p>\n\n\n\n

Notons qu\u2019il est pratique de fixer la valeur de N \u00e0 1. Les grandeurs\nS, I et R s\u2019interpr\u00e8tent alors comme un pourcentage de la population totale.<\/p>\n\n\n\n

On obtient alors des courbes de ce type-l\u00e0 (notez que les nombres sont arbitraires et n’ont aucune signification).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Courbe \u00e9pid\u00e9mique. Nombre de nouveaux cas chaque jour<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Part de la population infect\u00e9e chaque jour<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Pourcentage cumul\u00e9 de la population touch\u00e9 par la maladie\nsans adaptation<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La courbe \u00e9pid\u00e9mique, qui repr\u00e9sente le nombre de nouveaux cas au fil\ndu temps sans interventions humaines, suit d\u2019abord un profil relativement plat,\npuis exponentiel, atteint un pic et le nombre de nouveaux cas diminue. Dans ces\nconditions, toute la population est touch\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Ces diff\u00e9rents stades peuvent s\u2019expliquer. Au d\u00e9but, le nombre d\u2019individus infect\u00e9s est assez faible. Chacun ne pouvant infecter qu\u2019un nombre de personnes limit\u00e9, du fait d\u2019un nombre de contacts quotidiens eux aussi limit\u00e9s, le nombre de nouveaux cas progresse peu, en d\u00e9pit d\u2019un grand nombre de personnes saines \u00e0 contaminer.
Dans la phase exponentielle, le nombre de personnes contagieuses est \u00e9lev\u00e9, tout comme le nombre de personnes \u00e0 contaminer. Le nombre de nouveaux cas augmente donc brutalement.
Enfin, arrive un moment o\u00f9 le nombre de personnes restant \u00e0 contaminer est suffisamment faible pour que le nombre de nouveaux cas diminue, en d\u00e9pit du grand nombre de personnes infect\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

Le taux de retrait \u03bdt<\/sub> a \u00e9galement un impact sur la courbe.\nPlus il est \u00e9lev\u00e9, plus le nombre de nouveaux cas est faible, sachant que pour\nun jour donn\u00e9, le nombre d\u2019infect\u00e9s est plus r\u00e9duit.<\/p>\n\n\n\n

En pratique, la courbe d\u2019une \u00e9pid\u00e9mie est aplatie par les comportements humains. Lorsque la conscience de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie se r\u00e9pand dans la population, toutes sortes de mesures de protection (priv\u00e9es ou publiques) sont prises, r\u00e9duisant le nombre des contacts entre individus sains et individus infect\u00e9s. Le taux de contagion \u03b2t<\/sub> diminue. C\u2019est \u00e9galement ce qui arrive lorsqu\u2019un vaccin est administr\u00e9 \u00e0 la population. Lorsqu\u2019un traitement existe et est administr\u00e9 aux individus infect\u00e9s, il r\u00e9duit \u00e9galement le nombre de cas, en augmentant le taux de gu\u00e9rison, ce qui r\u00e9duit de fait le nombre de personnes contagieuses pour un jour donn\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Les politiques de sant\u00e9 publique vont utiliser ces courbes pour prendre les mesures ad\u00e9quates. Elles vont par exemple comparer le nombre de patients malades au fil du temps aux capacit\u00e9s de traitement du syst\u00e8me de sant\u00e9. Lorsque ces capacit\u00e9s sont insuffisantes, elles vont chercher \u00e0 \u00ab\u00a0aplatir la courbe\u00a0\u00bb (expression bien connue maintenant) pour maintenir un flux de nouveaux malades supportable pour les h\u00f4pitaux. C\u2019est typiquement ce qui est fait lorsque des mesures de confinement sont prises.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u00ab Aplatissement \u00bb de la courbe<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les limites des mod\u00e8les de type SIR<\/h3>\n\n\n\n

Pour une longue pr\u00e9sentation de ces limites, je vous recommande la lecture de ce texte de Gianluca Manzo<\/a>.
La premi\u00e8re limite \u00e9vidente de ces mod\u00e8les est qu\u2019elle repose sur une estimation de certains param\u00e8tres purement m\u00e9dicaux, comme le taux de contagion ou la vitesse de gu\u00e9rison. Dans le cas du Covid-19, beaucoup d\u2019incertitudes demeurent encore sur la capacit\u00e9 r\u00e9elle du virus \u00e0 se propager d\u2019un individu \u00e0 l\u2019autre (dur\u00e9e de contagiosit\u00e9 des micro-gouttelettes dans l\u2019air, contagiosit\u00e9 du virus d\u00e9pos\u00e9 sur les surfaces mat\u00e9rielles, etc.). Les \u00e9ventuelles mutations du virus ne sont pas non plus captur\u00e9es, ce qui limite potentiellement la validit\u00e9 pr\u00e9dictive du mod\u00e8le dans le temps. Il en va de m\u00eame pour la contagiosit\u00e9 des enfants (un sous compartiment possible de chaque cat\u00e9gorie), encore imparfaitement estim\u00e9e ; et initialement tr\u00e8s surestim\u00e9e semble-t-il (du moins, est-ce la v\u00e9rit\u00e9 du moment…). L\u2019immunisation d\u00e9finitive des patients gu\u00e9ris n\u2019est pas encore prouv\u00e9e \u00e0 ce jour ; ce qui met tout simplement en doute le sch\u00e9ma de transition S-I-R, puisque des individus retir\u00e9s pourraient repasser dans le compartiment des individus sains.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019autre souci de taille porte sur la mod\u00e9lisation des interactions\nsociales. On peut dire grossi\u00e8rement qu\u2019un mod\u00e8le SIR part du principe que les\ninteractions des individus dans leur milieu social sont identiques en moyenne. La\ndiffusion de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie est donc passablement homog\u00e8ne dans l\u2019ensemble de la\npopulation. Or, les travaux sur la sociologie des r\u00e9seaux montrent que les\ninteractions sociales sont un ph\u00e9nom\u00e8ne plus complexe. Il y a par exemple des\nindividus qui ont tr\u00e8s peu d\u2019interactions sociales, dans un groupe limit\u00e9.\nAlors que d\u2019autres ont de nombreuses interactions, \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de groupes\ndiff\u00e9rents. Dans une population d\u2019ensemble, les sous-groupes peuvent \u00eatre peu\nconnect\u00e9s entre eux ou nourrir des interactions par le biais d\u2019individus \u00e0\nl\u2019interface de ces groupes. Ces \u00e9l\u00e9ments-l\u00e0 ne sont pas pris correctement en\ncompte dans les mod\u00e8les SIR.<\/p>\n\n\n\n

Avant de pr\u00e9ciser ces points, on peut observer par exemple que l\u2019\u00e9pid\u00e9mie de Covid-19 montre une concentration g\u00e9ographique des cas assez forte dans la plupart des pays touch\u00e9s. L\u2019explication imm\u00e9diate r\u00e9side dans les mesures de confinement qui, en isolant les communaut\u00e9s, ont pu limiter la propagation au-del\u00e0 des territoires les premiers touch\u00e9s. N\u00e9anmoins, on constate \u00e9galement cette concentration dans les pays n\u2019ayant pas eu recours, ou plus faiblement, \u00e0 des mesures de confinement. De nombreuses explications peuvent \u00eatre envisag\u00e9es (un auto-confinement partiel des populations par exemple), mais cette observation montre que la structure des r\u00e9seaux sociaux a une importance. Sur ces questions, vous pouvez lire les billets au fil de l’eau d’Olivier Bouba-Olga<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Deux mots sur les graphes de r\u00e9seaux sociaux<\/h3>\n\n\n\n

Sur ce qui suit (et d’autres choses), je vous recommande la lecture du chapitre 3 de l’ouvrage de Matthew O.Jackson, The Human Network<\/em>, disponible gratuitement en ligne<\/a>. L\u2019id\u00e9e que si on augmente le nombre de connexions entre individus dans un r\u00e9seau, la possibilit\u00e9 d\u2019aller d\u2019un point du r\u00e9seau \u00e0 un autre sans interruption est accrue est intuitive. Quand on ajoute des n\u0153uds de communication dans un r\u00e9seau, on accro\u00eet logiquement cette possibilit\u00e9. Mais ce qui est spectaculaire est que le nombre de connexions \u00e0 ajouter pour pouvoir parcourir presque tout le r\u00e9seau peut \u00eatre tr\u00e8s r\u00e9duit. Dans les figures suivantes (adapt\u00e9es du livre de Jackson), dans le r\u00e9seau (a) le nombre moyen de connexion par membre (appel\u00e9 degr\u00e9 moyen du r\u00e9seau) est de 0,5. Les possibilit\u00e9s de parcourir le r\u00e9seau sont tr\u00e8s limit\u00e9es. Passer seulement de 0,5 contact par individu \u00e0 1,5 (cas du r\u00e9seau (b)) accro\u00eet significativement les possibilit\u00e9s. \u00c0 2,5 dans (c), tout le r\u00e9seau est presque parcouru. La propagation d\u2019une maladie y est beaucoup plus simple.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Quelles conclusions en tirer ? D\u2019abord, la structure des r\u00e9seaux\nimporte. Dans le r\u00e9seau (b), par exemple, une partie notable de la population\nest \u00e9pargn\u00e9e (en haut \u00e0 gauche). \u00c0 nombre de contacts \u00e9quivalents mais\ndiff\u00e9remment r\u00e9partis, ce ne serait pas forc\u00e9ment le cas. Ensuite, il suffit de\npeu de contacts par individus pour propager de proche en proche une maladie.\nEnfin, les individus qui sont au centre des r\u00e9seaux (qui ont un plus grand\nnombre de contacts que la moyenne) peuvent \u00eatre des vecteurs de maladies tr\u00e8s\nefficaces en interconnectant des groupes isol\u00e9s. Mais leur pr\u00e9sence n\u2019est pas\nindispensable pour propager une \u00e9pid\u00e9mie.<\/p>\n\n\n\n

Retour sur R0<\/sub><\/h3>\n\n\n\n

Le degr\u00e9 moyen du r\u00e9seau est en fait le fameux \u00ab nombre de\nreproduction de base \u00bb, ou R0<\/sub>. Il indique le nombre de\npersonnes qu\u2019un individu infect\u00e9 peut directement contaminer. Quand R0<\/sub>\nest inf\u00e9rieur \u00e0 1, chaque individu infect\u00e9 va contaminer moins d\u2019une personne\nen moyenne. Les personnes contamin\u00e9es, \u00e0 leur tour en contamineront moins d\u2019une\net ainsi de suite. De sorte que lorsque R0<\/sub> est inf\u00e9rieur \u00e0 1, une\n\u00e9pid\u00e9mie ne peut appara\u00eetre, puisque le nombre de personnes contamin\u00e9es un jour\nsera inf\u00e9rieur \u00e0 celui de la veille. Le nombre de malades suit une suite\ng\u00e9om\u00e9trique d\u00e9croissante. Quand chaque personne contamine plus d\u2019une autre\npersonne, c\u2019est l\u2019inverse qui se passe. La suite est croissante, avec un profil\nexponentiel croissant. Bien s\u00fbr, dans ce cas, comme on l\u2019a vu dans le mod\u00e8le\nSIR, le fait que des malades gu\u00e9rissent ou meurent (et ne soient plus\ncontagieux) limite cette \u00e9volution, de sorte que la courbe conna\u00eet une\ninflexion qui traduit le ralentissement de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie si on \u00e9tudie son profil\ncomplet dans le cadre d\u2019un mod\u00e8le SIR.<\/p>\n\n\n\n

On a : nombre de nouveaux cas = nombre de cas la veille x R0<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Nt+1<\/sub> = Nt<\/sub> x R0<\/sub>, qui \u00e9quivaut \u00e0 Nt<\/sub> = N0<\/sub>xR0<\/sub>t<\/sup>
O\u00f9 Nt<\/sub> est le nombre de nouveaux cas le jour t.
Et N0<\/sub> est le nombre de malades au d\u00e9but (jour 0).<\/p>\n\n\n\n

Les deux graphes suivants illustrent cela. Avec 1 000 malades au\nd\u00e9part, selon le taux de reproduction, l\u2019\u00e9pid\u00e9mie s\u2019\u00e9teint ou, au contraire,\nexplose.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Nombre de nouveaux cas quotidiens selon R0<\/sub><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Un R0<\/sub> n\u2019est pas une grandeur uniquement li\u00e9e \u00e0 la maladie.\nUn R0<\/sub> dans un r\u00e9seau social (donc une population sp\u00e9cifique) donn\u00e9\npeut ne pas avoir le m\u00eame impact que dans un autre r\u00e9seau. Dans le cadre du\nmod\u00e8le SIR, ceci n\u2019est pas assez pris en compte, le mod\u00e8le de base reposant sur\ndes contacts moyens. Des versions plus sophistiqu\u00e9es du mod\u00e8le distinguant des\nsous-compartiments peuvent n\u00e9anmoins affiner le mod\u00e8le et le rendre plus\nr\u00e9aliste, mais difficilement au point de pouvoir mod\u00e9liser parfaitement la\npropagation de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie.<\/p>\n\n\n\n

Conclusion : je ne sais rien<\/h3>\n\n\n\n

Mettre un peu le nez dans ce genre de mod\u00e8les permet une chose : mieux mesurer notre ignorance. Quand on prend en compte les diverses incertitudes (ou risques) attach\u00e9es aux \u00e9l\u00e9ments qui permettent d\u2019arriver \u00e0 une pr\u00e9diction valide sur l\u2019\u00e9volution de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie et ce qu\u2019il faudrait faire pour aboutir \u00e0 une politique optimale, on voit bien que toute position radicale rel\u00e8ve de la foi plus que de la science ou de l\u2019expertise. Quand je dis cela, c\u2019est essentiellement du point de vue du non sp\u00e9cialiste. Je ne doute pas un seul instant que les vrais experts en \u00e9pid\u00e9miologie, qui utilisent des mod\u00e8les d\u2019une grande richesse, puissent former des pr\u00e9dictions, ou au moins des sc\u00e9narios, assez pointus pouvant apporter une aide certaine. Fid\u00e8le au \u00ab Je pr\u00e9f\u00e8re avoir vaguement raison que parfaitement tort \u00bb<\/em> de Keynes, je crois en l\u2019utilit\u00e9 de ces mod\u00e9lisations plus qu\u2019au fameux \u00ab bon sens \u00bb, qui ne sert presque \u00e0 rien dans une situation pareille.  Mais m\u00eame les experts sont dans une situation bien pr\u00e9caire, me semble-t-il. Que dire alors des d\u00e9cideurs ? Si je devais d\u00e9cider de rouvrir des plages, d\u2019autoriser des d\u00e9placements au-del\u00e0 de x kilom\u00e8tres, de choisir la distance exacte entre \u00e9coliers, de rouvrir les salles de th\u00e9\u00e2tre, d\u2019imposer ou non le port du masque dans la rue, sur quoi pourrais-je me baser sans faille potentiellement tragique ? En attendant, il me semble que les observateurs commentateurs, apprentis sp\u00e9cialistes de sant\u00e9 publique autoform\u00e9s sur Twitter, feraient bien de s\u2019abstenir de nous inonder de leurs recommandations d\u00e9finitives, martel\u00e9es en public. \u00c7a n\u2019aide pas le d\u00e9bat public, \u00e7a polarise simplement les points de vue. Si vous avez des angoisses, si vous ressentez le besoin d\u2019exister au c\u0153ur d\u2019une chose qui vous d\u00e9passe totalement, si vous ne parvenez pas \u00e0 accepter l\u2019id\u00e9e que vous n\u2019\u00eates pas grand-chose en d\u00e9pit de ce qu\u2019on vous dit depuis tout petit, exprime-le autrement. Non, vous ne r\u00e9soudrez pas la crise du Covid-19. C\u2019est comme \u00e7a. Et ce n\u2019est pas si grave.<\/p>\n\n\n\n

Je reviendrai d’ici quelques jours vous parler du fameux arbitrage entre sant\u00e9 et \u00e9conomie, qui me semble faire l’objet d’une grande foire au n’importe quoi dans les d\u00e9bats du caf\u00e9 du commerce confin\u00e9.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dans le cadre d\u2019un cours que j\u2019ai r\u00e9organis\u00e9 compte tenu des \u00e9v\u00e8nements actuels, j\u2019ai mis le nez dans les bases des mod\u00e8les \u00e9pid\u00e9miologiques. Pourquoi faire \u00e7a ? Pas du tout pour jouer \u00e0 l\u2019\u00e9pid\u00e9miologiste et vous expliquer ce qu\u2019il va se passer dans le futur. Simplement parce que pour mieux comprendre (Lire la suite…)<\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":2,"featured_media":1450093,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-1450077","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blablabla"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1450077","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1450077"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1450077\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1450096,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1450077\/revisions\/1450096"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1450093"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1450077"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1450077"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/econoclaste.eu\/econoclaste\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1450077"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}