Le précédent jeu était trop facile, en voici donc un plus dur.
Théo et Léa, enfants d’une famille de clients du camping des flots bleus, sont arrivés sur la plage des goélands (l’histoire ne dit pas avec quel moyen de transport). Au bout de quelques heures de récriminations, ils ont obtenu de leurs parents qu’ils leur achètent une glace. Mais les parents, soucieux d’apprendre la vie en société à leurs enfants, ne leur offrent qu’une seule glace, à charge pour les enfants de se la partager.
La règle de partage de la glace est la suivante. Parce que c’est la plus petite, Léa propose à son frère un partage de la glace en premier. Si celui-ci accepte, le partage est effectué; si celui-ci refuse, c’est alors à Théo de proposer un partage à sa soeur. Si celle-ci accepte, le partage est fait, sinon, c’est à elle de refaire une proposition, etc. Par ailleurs, il y a un problème : étant donnée la température caniculaire qui règne sur la plage des goélands, la glace fond à toute vitesse. A chaque tour de proposition des enfants, son volume a diminué d’un tiers de sa valeur initiale. Cela signifie que la glace est complète au premier tour lorsque Léa propose une répartition (la répartition proposée porte donc sur la glace complète), qu’il en reste deux tiers à se partager au second tour, pour la proposition de Théo, un tiers au troisième tour (où Léa propose à nouveau) et plus rien ensuite.
Théo et Léa sont peut-être jeunes, mais ils sont économiquement rationnels. Ils veulent le plus de glace possible pour eux-mêmes. Néanmoins, leur jeunesse fait qu’ils ne chercheront pas à mener des mouvements stratégiques, comme par exemple détruire totalement la glace pour montrer leur détermination de négociateur dans des partages futurs.
C’est donc à Léa de faire une proposition. Que va-t-elle proposer à son frère? Le fait de proposer en premier est-il un avantage pour elle? Si la glace fond en un nombre de tours différent de trois, le résultat est-il différent? Léa est-elle toujours avantagée?
Solution (03-08) : Là encore de nombreux lecteurs et lectrices ont trouvé la solution, soit en adoptant la démarche théorique, soit en raisonnant de bon sens. Comme l’a montré Von Neumann, pour trouver la solution d’un jeu séquentiel (c’est à dire, qui se joue en tours consécutifs), il faut partir de la fin du jeu et remonter au début de façon logique. Ici, au dernier tour, il reste un tiers de glace et léa propose; elle peut donc proposer “tout ou rien” à son frère (c’est à dire, à elle le tiers de glace, à lui le droit de lécher ce qui reste dans le carton) et il n’a d’autre choix que d’accepter.
Cependant, pour en arriver là, il a fallu passer par le second tour, dans lequel c’est Théo qui peut proposer. A ce tour, il doit proposer à sa soeur au moins ce qu’elle peut avoir au troisième tour pour qu’elle accepte. Il reste deux tiers de glace, elle peut obtenir un tiers au tour suivant; il doit donc lui proposer un tiers et garder un tiers pour lui, et elle devrait accepter. Mais dans ces conditions, Théo sait au premier tour que s’il refuse, il obtiendra un tiers de glace; Léa doit donc lui offrir ce tiers (et garder les deux tiers restant) au premier tour.
On peut noter deux choses : premièrement, que lorsque le nombre de tours est pair, la répartition d’équilibre est toujours 50/50; ensuite, que lorsque le nombre de tours est impair, Léa est avantagée. Elle reçoit 2/3 avec trois tours, 3/5 avec 5 tours, etc. L’avantage tend à diminuer avec le nombre de tours et à converger vers 50/50. Globalement ce jeu l’avantage donc.
Autre remarque. Certains ont constaté que pour aboutir à cette issue, il faut des hypothèses implicites de rationalité assez étroites pour les joueurs. Dans la pratique les gens n’agissent pas ainsi. Ils font des “mouvements stratégiques” c’est à dire qu’ils prennent des engagements, explicites ou implicites, et plus ou moins crédibles, qui indiquent à l’autre joueur qu’ils modifient le jeu à leur avantage. Par exemple, Léa peut déclarer au début du jeu “si tu refuses ma première proposition, je jette la glace dans le sable”. Dans ce cas, elle augmente encore son avantage (Théo devrait alors lui laisser la totalité de la glace). Problème : cet engagement est-il crédible? Si Théo refuse au premier tour, Léa a le choix entre ne rien avoir et une proposition d’un tiers de glace. Aura-t-elle le courage de jeter la glace dans le sable?
Par ailleurs, le jeu repose sur l’équilibre théorique du “jeu de l’ultimatum” : au dernier tour, celui qui propose peut obtenir tout ce qui reste et l’autre acceptera contraint et forcé. En pratique, les gens n’agissent pas ainsi. Des modèles plus sophistiqués, des analyses évolutionnistes, et des expériences, montrent que les gens possèdent un sens inné de justice qui les pousse à proposer dans ce type de jeu plus qu’ils ne devraient de façon rationnelle, et qu’ils refusent les propositions qu’ils considèrent injustes, même lorsque cela va contre leur intérêt (voir par exemple cet article). Il n’y a pas là de limite à la théorie, mais le remplacement d’une théorie simple par une théorie plus complexe mais plus correcte.
Enfin, comme l’a rappelé Gizmo, si Léa a un avantage dans ce jeu, c’est peut-être préférable car les femmes ont un comportement plus coopératif que les hommes. Comme le disait Helen Keller, les hommes ont beaucoup à apprendre des femmes en matière économique…
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Léa doit proposer 2/3 (-epsilon) pour elle, 1/3 (+epsilon)
pour lui.
Si la glace fond en n tours, elle doit proposer :
– n/2 vs n/2 si n est pair
– (n+1)/2 vs (n-1)/2 si n est impair.
Je pense que la situation est optimale lorsque Léa propose à son frère de manger le moitié de la glace; elle peut même proposer de commencer. En effet si elle propose d’en manger plus que la moitié, son frère refusera et elle en aura quoi qu’il en soit moins par la suite. Elle ne va surement pas en proposer plus à son frère.
Commencer à manger la glace en premier est d’ailleurs le seul avantage qu’elle peut obtenir par rapport à son frère, étant la première à faire une proposition. En considérant que manger la moitié de la glace en deuxième constitue un désavantage.
Bien sur le problème ne nous dit pas si la glace a 2 boules, dans ce cas là , ils peuventla manger en même temps…
Tout ce problème est d’ailleurs fondé sur l’hypothèse de rationalité des individus (jeunes enfants) qui, s’en vouloir paraître rabat-joie, est actuellement justifiée par des tests d’économie expérimentale effectué sur… des étudiants en économie…. Mais que c’est scientifique tout ça…
Léa est toujours gagnante. Le fait de proposer en premier l’avantage.
A trois tour, Lea a 2/3 de la glace et Théo 1/3.
Lorsque le nombre n de tour change, si n est pair, Théo et Léa ont chacun la moitié.
Si n est impair, n=2p+1, Théo a p/(2p+1) de la glace et Léa (p+1)/(2p+1)
Résolvons tout d’abord le cas n=3
Plaçons nous au 3 ème tour.
Léa propose et Théo choisit d’accepter ou de refuser. Si Théo refuse, plus personne n’a rien. Théo va donc accepter quelque soit la proposition.
Léa va donc proposer 1/3 pour elle et rien pour Théo.
Plaçons nous au 2ème tour.
Il reste 2/3 de la glace
Théo propose. Si Léa refuse, il y a un troisième tour où il n’obtient rien et Léa 1/3. Il doit donc proposer au moins 1/3 de la glace à Léa.
La proposition qui l’arrange le mieux est donc 1/3 pour lui et 1/3 pour Léa.
Nous somme au 1er tour.
Si Théo refuse la proposition, il peut espérer après au mieux 1/3 et Léa au minimum 1/3.
Léa va donc proposer 2/3 pour elle et 1/3 pour Théo.
Pour le cas n=2 avec le raisonnement ci-dessus on voit qu’on a bien comme répartition 1/2 et 1/2.
Prouvons le résultat général par récurrence.
"si n est pair, Théo et Léa ont chacun la moitié.
Si n est impair, n=2p+1, Théo a p/(2p+1) de la glace et Léa (p+1)/(2p+1)"
Celà est vrai pour n=2 pair et n=3 impair.
Supposons le résultat vrai au rang n et regardons le cas à n+1 tour.
Plaçons nous au 2 ème tour.
Il reste (n+1-1)/(n+1) quantité q de glace et n tours a jouer.
Théo a la main. Il reste n tours. Théo est donc "gagnant" avec une quantité X.
Au premier tour, Léa va donc proposer à Théo une quantité X*(n+1-1)/(n+1).
Cas 1 :
n=2p est pair, n+1=2p+1 est impair.
X=1/2 de q
Théo a donc X*n/(n+1)=n/2(n+1)=p/(2p+1) de la glace
Léa a (p+1)/(2p+1) de la glace.
Cas 2.
n=2p+1 est impair, n+1=2p+2 est pair.
X=p+1/(2p+1) de q.
Théo a donc (p+1)/(2p+1)*(n/(n+1))=(p+1)/(2p+2)=1/2
Bien évidemement Léa a aussi 1/2 de la glace.
Je pense qu’il faut prendre a chaques tour la part potentielle de chacun avec une acceptation propable : c’est a dire : 50 / 50.
Au premier tour : 50% / 50%
Au deuxieme tour : 33% / 33%
Au troixieme tour : 16% / 16%
On prend le problème a l’envers :
Le troixieme tour est le plus simple, Léa n’a qu’a donner 0.01% de la glace, Théo acceptera, car c’est ca ou rien.
On considère donc que Léa a 32.99% de la glace du début (Léa est vraiment radine 😉
Au deuxieme tour donc, il faut que Théo propose au moins 33% de la glace si il veut que Léa accepte.
Soit, 33% pour Léa et 33% pour Théo.
Donc, Léa, au premier tour, doit donc proposer au moins 33% de la glace pour Théo et 67% pour Léa, car Théo ne pourra jamais avoir plus.
Léa a donc un avantage sur Théo.
En faite, le système s’équilibre si l’on a un nombre pair de tour. Avec 4 tours, on arrive a 50/50. 5 tours, 60/40. 6 tours, 50 / 50.
2/3 de la glace pour Lea, 1/3 pour Theo
Au 3ème tour, Lea peut s’approprier 1/3 (- epsilon) de la glace initiale (toute la glace restante, moins epsilon), car de toutes façon, en cas de refus, même le epsilon aura fondu au tour suivant, donc Theo doit accepter (sous ls hypothèses du jeu).
Au second tour, Théo ne peut donc pas proposer moins que 1/3 de la glace initiale (1/2 de la glace restante) à Lea
Donc Lea (qui est une chipie intelligente) proposera 1/3 de la glace à son frère, qui, sachant qu’il ne pourra obtenir mieux par la suite, devra accepter. Et c’est ainsi que les mecs se font avoir…
Bien entendu, si la glace fond après un nombre pair de tours , le premier proposant n’est plus avantagé.
Pour moi ça sera une "chocolat noir" de chez Berthillon siouplait
Si on voit le problème de manière inverse, en commençant par le dernier tour d’enchères de Léa (tiens, ça fait bizarre de ne pas avoir Alice et Bob, d’ailleurs!) :
-au troisième tour Léa est toute puissante, elle peut proposer un partage 1/3-epsilon / epsilon et Théo sera bien obligé d’accepter car il a le choix entre epsilon et rien.
-Donc au deuxième tour, Théo a tout intérêt a choisir nimporte quelle stratégie lui garantissant au moins epsilon parts de glace. Vu que Léa est garantie d’avoir 1/3-eps au tour suivant, il faut nécessairement que la proposition intéresse Léa, sinon elle refusera. Le mieux que Théo puisse proposer est donc un partage équitable 1/3 – 1/3.
-Donc au premier tour, Léa doit saisir nimporte quelle occasion de faire mieux qu’1/3. Le mieux qu’elle puisse proposer est donc 2/3-epsilon pour elle, et 1/3+epsilon pour son frère, qui sera obligé d’accepter.
Dans cette solution, Léa est avantagée par le fait de terminer, pas vraiment de commencer. En effet à chaque étape elle a au moins autant de glace que son frère. Si on applique la même idée à un jeu à ou la glace diminue de 1/(2n+1) à chaque proposition refusée, Léa peut garantir un partage (n+1)/(2n+1)-epsilon pour elle, contre n/(2n+1)+epsilon pour son frère. En oubliant les epsilon qui servent juste pour la preuve (genre, epsilon = un atome de glace à la vanille), ça fait du (n+1)/(2n+1) pour Léa, et du (n+1)/(2n+1) pour Théo.
Bon voilà désolé si ce n’est pas très "économique" comme solution, dans tous les sens du terme 🙂
Allons-y par récurrence:
-si on se rend au troisième et dernier tour avant disparition de la glace, Léa sera en position de force pour exiger la quasi totalité de ce qu’il reste (L:1/3- T:0+)
-donc au deuxième (avant-dernier) tour Théo doit offrir 1/3 pour être un minimum compétitif (L:1/3 T:1/3)
-donc au premier tour, toute offre de Léa supérieur à 1/3 pour Théo devra être accepté (L:2/3- T:1/3+)
Léa est donc avantagée, mais plutôt par sa main au dernier tour que par sa main au premier tour. Pour preuve: si Théo avait le pouvoir de faire une offre avant que la glace sorte de son frigo et ne commence à fondre, il ne pourrait obtenir qu’un epsilon de mieux bien malgré sa première position (L:2/3 T:1/3).
Généralisation: si le nombre de tour NT est impair alors le premier à proposer aura (NT+1)/2 moins un epsilon et le second (NT-1)/2 plus un epsilon; si NT est pair alors chacun aura la moitié.
PS: sympa mais encore un peu facile… et si les enfant ne savaient pas en combien de temps la glace fond? 😉
Léa va proposer à Théo de lui donner 1/3 de la glace et va garder le reste pour elle.
En effet un raisonnement par rétro-induction montre qu’au troisième tour, Léa garderait tout pour elle puisque Théo serait indifférent entre ne rien avoir car la glace est finie ou ne rien avoir car Léa a tout mangé. Au deuxième tour, pour que Léa accepte le partage que lui propose Théo, il lui faut au minimum un tiers de la glace: Théo proposera donc 1/3 – 1/3. Au premier tour, pour que Théo accepte le partage que Léa lui propose, il lui faut au moins 1/3. Léa va donc proposer 2/3 pour elle et 1/3 pour son frère.
Le fait de commencer est bien évidemment un avantage dans cette configuration. En fait c’est un avantage si la glace fond en un nombre impair de tours…
Si la glace fondait en un nombre pair de tours, on aurait un partage différent: 50 – 50.
Ma première pensée est que Léa peut proposer de garder les deux tiers de la glace, et que le partage sera accepté.
En effet, si Théo refuse de n’avoir que 1/3 de la glace, il n’y en aura plus que 2/3 à se partager. il aura alors deux choix. il peut proposer de laisser moins de 1/3 de la glace à sa soeur. Celle-ci refusera, sachant qu’à son tour il n’y aura plus que 1/3 de glace, et qu’à ce moment là, elle pourra tout garder, car son frère ne laissera pas la glace être perdue pour tout le monde. sachant celà, il serait obligé de laisser au moins 1/3 de sa glace à sa soeur. il ne peut donc, en aucun cas, espérer en avoir lui-même plus de 1/3. Par conséquent, si Léa propose d’en garder 2/3 pour elle, il acceptera à coup sur.
Y a-t-il moyen pour Léa d’avoir plus ? je ne pense pas. si elle offre moins de 1/3 à son frère, il refusera, et proposera au partage suivant 1/3 chacun, et ne pouvant espérer plus, elle sera contrainte d’accepter.
En drésumé, donc :
Léa propose 2/3 pour elle, 1/3 pour Théo, et la proposition est acceptée au premier tour, Théo ne pouvant en aucun cas espérer en avoir plus.
Raisonnons à l’envers.
A l’avant dernier tours, Léa peut proposer un échange 32 – 1 a Téo. Celui-ci ne peut qu’accepter, puisqu’au tour suivant son espérance de gain est de 0.
Donc au tour précédent, Téo doit proposer au minimum un 33 – 33 pour qu’Léa est intérêt à accepter et que pour sa part soit de 33.
Et donc au premier tours si Léa propose un 66 – 34, Téo a un intérêt objectif a accepter ces termes d’échanges inéquitables.
Si le jeu avait 4 tours (évaporation de 25) on se retrouve avec le schéma de partage suivant
4° tours 24 – 1 pour Téo
3° tours 25 – 25 pour Léa
2° tours 49 – 26 pour Téo
1° tours 50 – 50 pour Léa.
De façon générale, le jeu est toujours favorable à Léa. Avec cette règle de partage, les parents d’Léa et Téo prépare de futurs graves conflits familiaux lors de leur succession.
Au premier tour, Léa propose le partage suivant : 2/3 pour elle, 1/3 pour Théo.
Le résultat est différent en fonction du nombre de tours (penser au cas à un seul tour…). En revanche, le partage me semble toujours opéré dès le premier tour (ce qui est heureux en termes d’efficacité). Enfin, le fait de jouer le premier assure d’avoir une part égale à celle de l’autre quand le nombre de tours est pair, strictement supérieure à celle de l’autre quand le nombre de tours est impair. Cet avantage est d’autant plus important que le nombre de tours est faible, l’avantage valant, si je ne m’abuse, 1/n où n est le nombre de tours dans le cas impair.
Il me semble qu’il faille partir de la fin de la négociation.
Au 3ème tour, si Léa propose un peu de glace (epsilon), Théo a intérêt à accepter, si non il ne restera plus de glace pour un 4ème tour et il n’aura rien.
on a donc 3ème tour (1/3 de glace à se partager) : L=1/3-e T=e
Au 2ème tour, il faut donc que Léo propose à sa soeur un peu plus de 1/3-e, donc 1/3. on a alors au 2e tour (reste 2/3) : L=1/3, T=1/3.
Au premier tour, il faut donc que Léa propose à son frère plus d’1/3, donc 1/3+e, on a donc : 1er tour (glace entière) : L=2/3-e, T=1/3+e.
Il reste à estimer le ‘e’. S’il est trop petit (voir nul), celui à qui on fait l’offre (Théo dans les deux cas) peut indifféremment accepter ou refuser sans (presque) rien changer à sa part. Trop gros, celui qui offre réduit sa part… S’il n’y a pas de stratégie pour le lendemain, le ‘e’ doit être le plus petit possible, tout en restant visible.
L’avantage va donc clairement à Léa.
Dans un jeu à n tour, si n est pair on peut définir p tel que n=2p, le dernier tour est pour Théo qui va proposer de prendre le reste 1/n-epsilon et donner à sa sœur epsilon. On remontant les tours, on arrive à un premier tour (proposé par Léa): T=p/n=1/2, L=p/n=1/2.
Si n est impair (n=2p+1), le dernier tour est pour Léa qui propose : L=1/n-e et T=e. En remontant de même à arrive à un premier tour (proposé par Léa) : L=(p+1)/n-e et T= p/n+e.
En résumé, si la glace fond en un nombre pair de tour, il n’y a pas d’avantage. S’il est impair, l’avantage est de 1/n-epsilon pour Léa.
Son intérêt est d’acheter des glaces les jours où il fait chaud quand elles fondent vite!
Supposons qu’on arrive au 3e tour : Léa sait qu’elle est seule maîtresse de la glace, car si Théo refuse le partage – si inéquitable soit-il- qu’elle propose, la glace disparaît à jamais. Elle s’approprie donc un tiers. Sachant cela, Théo doit lui proposer au moins un tiers (mais pas plus, parce que faut pas pousser) au 2e tour, si celui-ci est atteint. Dans ce cas, lui-même aura un tiers de la glace. Ce tiers est donc ce que doit lui proposer Léa dès le 1er tour. Elle-même s’arroge les deux tiers et est donc avantagée (NB : vous donniez un indice !).
En revanche, cet avantage ne vaut que lorsque le first mover est une fille, petite qui plus est. Si en effet Théo commençait et avait le malheur de proposer une répartition 2/3 – 1/3, Léa aurait beau jeu de se précipiter vers ses parents en criant à la cruauté fraternelle, et de se faire offrir une glace rien qu’à elle en guise de consolation, Théo récupérant alors les 2/3 (déjà un peu fondus) de la glace originelle. Conclusion : un cartel gagnant-gagnant des enfants s’impose !
Il me semble que le frère de Léa devrait accepter toute proposition supérieure à un sixième de glace, ce que Léa lui concèderait lors du dernier partage. Mais j’avoues que j’ai de gros doutes sur ma solution. Ceci dit, si les parents sont des agents rationels et qu’ils veulent profiter un peu de leurs vacances au lieu de supporters cris et pleurs, ils apprendront vite qu’il faut acheter deux glaces…
Allez je me lance. On va raisonner par récurrence.
Plaçons nous au 3e tour. Il reste un tiers de glace. Comme on suppose qu’il n’y a qu’une seule négociation, Théo a intérêt à accepter toute proposition qui lui donne quelque chose (c’est mieux que ce qu’il aurait s’il refuse cad. rien). Bref, quel que soit epsilon positif, Théo accepte une répartition 1/3-epsilon pour Léa, epsilon pour Théo. Comme epsilon peut être aussi petit qu’on veut, dans les faits ça veut dire 1/3-0.
Plaçons nous maintenant au deuxième tour. Il reste 2/3 de glace. Chacun sait que si il n’y a pas d’accord, Léa aura 1/3 au prochain tour. Donc, si Théo propose à Léa une répartition 1/3+epsilon pour Léa, 1/3-epsilon pour Théo, elle acceptera. Bref, la répartition d’équilirbe est 1/3-1/3.
Ramené au premier tour où la glace est entière, Léa sait que Théo acceptera toute proposition qui lui donnera au moins 1/3. Elle propose donc 2/3 pour Léa, 1/3 pour Théo.
En généralisant, on se rend compte que tout dépend de la parité du nombre de tour que met la glace à fondre.
S’il est impair (2p+1), le partage d’équilibre est (p+1)/(2p+1) pour Léa et p/(2p+1) pour Théo, le fait de commencer procure un avantage.
S’il est pair, le partage d’équilibre est toujours 1/2-1/2.
(hypothéses cachées, Common Knowledge of rationality qui implique que les agents raisonnent à rebours — backward induction).
Tour 4 : Théo propose, 0 glace
Tour 3 : Léa propose, 1/3 glace
Comme Théo aura 0 au tour prochain, il accepte n’importe quelle part positive (disons epsilon, Léa pouvant s’adjuger 1/3 – epsilon)
Tour 2 : Théo propose, 2/3 glace
Théo sait qu’au tour prochain Lea pourra s’adjuger 1/3- epsilon, et donc qu’elle acceptera 1/3 dans tous les cas (sinon elle a intérêt à passer au tour suivant). Théo devrait rationellement proposer 1/3 1/3 comme division.
Tour 1 : Léa propose, 1 glace
Comme Léa sait que Théo proposera 1/3 1/3 et qu’il préferera donc n’importe quelle allocation qui lui donnera plus d’un tiers, Léa propose 2/3 moins epsilon pour elle et 1/3 plus epsilon pour lui. Théo ne peut qu’accepter. Et tout le monde est content.
En vrai, sur le ton de la plaisanterie (mais c’est ce qu’il se passe dans les labo) :
– si les enfants ont moins de 9 ans, le premier essaye de garder tout pour lui (ce qui généralement implique une bataille mémorable : 3 issues possibles, un des parents excédés mange la glace, l’autre enfant détruit la glace (ou la jette dans le sable), ou mieux chacun son tour les enfants demandent toute la glace et l’autre refuse à chaque fois, menant tout le monde en 0 au tour 4)
– si les enfants ont plus de 9 ans, il partagent 50/50 au premier tour (comme la plupart des adultes testés).
Sinon, le "pouvoir" de négociation ne dépend pas tellement de la vitesse de destruction de la glace mais de qui est en dernier… Ex. si on remplace la glace 1 par une glace 4/3 (on rajoute un tour 0 au raisonnement, et le rapport de force, est partiellement renversé).
Note : TEchniquement ceci s’appelle l’équilibre parfait en sous-jeu (tous les agents sont rationels dans tous les sous-jeux), mais il y a d’autres équilibres (plus "faibles") ex. Nash.
Les éconoclastes m’autoriseraient-ils à recycler honteusement leurs jeux de l’été en exos de TD ?
Au maximum, il peut y avoir 3 offres de partage : Léa, Théo puis Léa.
Si on en arrive à la dernière étape (3e partage), Théo acceptera n’importe quelle offre (si il refuse, il aura zéro puisque la glace fondra); donc il acceptera epsilon, qui est mieux que zéro. Léa proposera donc 1/3 (de la glace d’origine) – epsilon pour elle, epsilon pour lui.
A la seconde étape par conséquent, Léa acceptera n’importe quoi au-dessus de 1/3 (puisque si elle attend, elle aura au maximum 1/3), et Théo doit donc proposer de lui donner 1/3 + epsilon, et de manger 1/3 – epsilon (1/3 est déjà fondu).
A la première étape, par conséquent, Théo doit accepter d’importe quelle offre qui dépasse 1/3 pour lui.
Avec n étapes, je ne sais pas trop…
Economiquement rationnels, Theo et Lea ont intéret à se décider au plus vite pour avoir le plus de glace. Avec deux participants, la méthode de partage la plus efficace pour que chacun ait l’impression d’avoir une part au moins égale à la moitié est la suivante :
– Lea fait un partage virtuel de la glace (par exemple elle fait un trait sur la glace avec son doigt), et propose à Théo de choisir quelle part il veut.
– Théo choisit.
Léa a tout intéret a faire un partage qu’elle estime égal. Theo, quant à lui, aura à ses yeux la plus grosse part, sauf si à ses yeux le partage de Léa est égal, auquel cas il aura la moitié. Lorsque Théo a pris sa part, Léa prend la dernière part, qu’elle avait déjà définie comme étant l’exacte moitié de la glace.
Tentative de réponse de la part d’un profane.
Si on parvient au troisième tour, Théo sera contraint d’accepter n’importe quelle offre où sa part sera non nulle. Si on note q la portion de glace congrue, Léa devrait se retrouver alors avec (1/3)-q de la glace initiale contre q pour son frère.
Il est donc impératif pour Théo, si on parvient au deuxième tour, de proposer une répartition que sa soeur acceptera. La répartition la plus avantageuse pour le garçon et réalisant cette condition est un partage égalitaire ( 1/3 pour Léa et 1/3 pour Théo ).
Il suffit donc à Léa, pour maximiser sa quantité de glace, de proposer au premier tour une répartition de 2/3-q pour elle même contre 1/3+q pour son frère : Théo devra accepter car refuser signifierait perdre de la glace quoi qu’il arrive.
Si on applique le même raisonnement avec 4 tours au lieu de trois on obtient les répartitions suivantes :
t4 : Théo:(1/4)-q ; Léa :q
t3 : Théo:1/4 ; Léa:1/4
t2 : Théo:(1/2)-q;Léa:(1/4)+q
t1 : Théo:1/2 ; Léa :1/2
De même à n tours :
si n impair :
tn : Théo:q ; Léa:(1/n)-q
t(n-1): Théo:(1/n) ; Léa:1/n
…
t2: Théo:(n-1)/2n ; Léa:(n-1)/2n
t1: Théo:q+(n-1)/2n ; Léa:[(n+1)/2n ]-q
Léa est toujours avantagée dans cette configuration.
si n pair :
tn: Théo:(1/n)-q; Léa:q
t(n-1):Théo:(1/n) ; Léa:(1/n)
…
t2: Théo:(1/2)-q ; Léa:[(n-2)/2n]+q
t1: Théo:1/2 ; Léa:1/2
Les enfants devront partager équitablement la glace si n est pair.
"Néanmoins, leur jeunesse fait qu’ils ne chercheront pas à mener des mouvements stratégiques, comme par exemple détruire totalement la glace pour montrer leur détermination de négociateur dans des partages futurs."
Perso j’en serais arrivé là, surtout si c’est la première glace des vacances (ma soeur est aussi une acharnée). Par contre cela risque de coincer avec les parents, si toute les glaces finissent fondu avec bagarre en prime.
Pour nos amis statisticiens, on peut probablement rajouter les règles suivantes, et regarder à quelle point cela influe sur la solution:
A chaque fois que Léa fait une proposition à Théo, celui-ci a une probabilité max{0,1-(part de Théo)/(Part de Léa)} de voler la glace et d’aller la manger tout seul dans son coin. En gros si Léa lui propose quelque chose de raisonnable il continue à négocier, mais si sa soeur abuse vraiment il quitte la table des négociations en claquant la porte, et en emportant la glace avec lui.
A chaque fois que Théo fait une proposition à Léa, celle-ci a une probabilité max{0,1-(part de Léa)/(Part de Théo)} de fondre en larme et d’aller "rapporter" à ses parents que Théo lui a volé sa pelle et son râteau (ce qui lui garantira la glace pour elle toute seule, par mesure de rétorsion).
Je ne sais pas du tout si on peut prouver quelque chose sur l’espérance de ce que Léa peut garantir. En tout cas ce qui est sûr c’est que la stratégie proposée par la majorité des commentateurs précédents ne marchera pas du tout… Léa n’a pas trop intérêt à flouer son frère de manière trop visible si elle ne veut pas qu’il parte en courant avec la glace.
Léa doit proposer la moitié de la glace à Théo.
Léa sait qu’elle doit ruser pour convaincre son frère, qui n’a toujours pas digéré le fait de devoir partager l’attention de ses parents –et leurs glaces– avec quelqu’un à qui il n’avait rien demandé. Le sentiment d’injustice de Théo est décuplé du fait qu’une fois de plus pendant ces vacances, on a selon lui favorisé cette sainte-nitouche de Léa en lui proposant de faire la première offre.
Si Léa propose moins que la moitié de la glace, Théo se sentira floué et il refusera. Au tour suivant, dans un louable souci pédagogique, il appliquera la règle du 50-50 et proposera un tiers pour lui, un tiers pour sa soeur, mais celle-ci, furieuse de voir que sa part est passée en quelques secondes de plus de la moitié de la glace à un tiers, dira non. Au dernier tour Lea reprendra la main, et soit elle propose le 50-50 (chacun a un sixième de la glace), soit elle offre de nouveau un peu moins à son frère, qui, indigné de tant de mavaise volonté, refuse encore.
Ce n’est pas rationnel, mais Léa qui connait le jeu de l’ultimatum sait qu’il y a des risques que ça se passe ainsi.
Donc dans son propre intérêt, elle proposera la moitié de la glace à son frère. Si elle est vraiment rusée et voit dans l’optique d’une longue vie de cohabitation, elle lui proposera un chouïa plus, ce qui mettra de l’huile dans les rouages et ne la privera pas beaucoup parce qu’elle a de toutes façons un plus petit estomac.
J’ai vraiment les boules … Ca me laisse de glace!
Léa propose epsilon a son frere et garde le reste
Pour ajouter qch qui n’a, je crois, pas été dit explicitement. Ce qui constitue un avantage est le fait de proposer à l’autre. Faire une proposition permet en effet de "récupérer" la quantité de glace qui va fondre jusque la date suivante.
Ainsi dans le cas Lea-Theo-Lea, si la glace perd d’abord 25% puis 50% puis 25% (du montant initial ; destruction en 3 tours), le partage optimal serait 50-50 et non 2/3-1/3. On pourra objecter la pertinence d’une fonte non linéaire : pic de chaleur connu ex ante quand theo va parler.
De façon générale, le partage optimal est tel que chaque enfant reçoit la somme, sur toutes ses propositions, de la destruction de la glace dans le tour qui suit sa proposition.
Léa donne sa glace à Théo. A cause de ceci http://www.voxeu.org/index.php?q... Extrait :
– boys are less cooperative than girls;
– older children are less cooperative than younger ones; and
– above all, children from larger families tended to contribute significantly less than children from smaller families.
Ceci étant, j’attends toujours la température caniculaire…
Moi je m’en fous du calcul, je chipe la glace aux mioches pendant qu’ils reflechissent et j’en mange 100% en m’enfuyant en courant !
Contre le concept de rarete future, je choisis l’abondance immediate (je vous laisse mediter la dessus).
La rationalité ECONOMIQUE (et non mathématique) voudrait que des le départ Léa fasse un partage équitable, c’est-à-dire 50/50 et que son frère accepte. Car si au départ il est inéquitable, Théo refusera or au second tour il ne restera plus que 2/3 de la glace. Ainsi la proposition de partage de Théo qui sera au mieux 50/50 (pour que Léa accepte) ne donnera à chacun qu’au maximum 50% de 2/3!!!!
ce qui est moins que la 1/2 de 100% évidemment.
Tout autre raisonnement amenerai Léa a gagné au troisième tour en ne mangeant que 1/3 de la glace et son frère le résidu.
S’ils sont rationnels leur interet et un patrage équitable au premier tour. De plus ils sont frère et soeur cela devrait être facilité.-:)
L’énoncé de la question ne précise pas dans quel pays se situe le camping des Flots Bleus. Si c’est au Darfour, j’ai le sentiment que Théo s’en fout éperdument: sa soeur Léa est morte depuis longtemps de malnutrition et en ce qui le concerne il n’a pas la possibilité de faire – même en rêve – des caprices de gosse occidental: quelques grains de riz seraient largement suffisants à son bonheur et à sa survie provisoire.
pourquoi absolument vouloir raisonner par tiers, l’intitule du sujet ne specifie pas que le partage doit s’effectuer de telle ou telle facon. On sait seulement que si les 2 enfants ne s’entendent pas au premier tour, 1/3 de la glace est perdue et qu’ils ne peuvent plus pretendre qu’a 1/3 chacun. Selon moi, Lea doit donc proposer a Theo d’avoir plus que ce qu’il aurait si il refuse.
Etant donne qu’elle en veut tout de meme le plus possible. Elle doit en donner 1/3 + upsilon a theo en lui disant que si il refuse, il en aura forcement moins.
Pour une raison que j’ignore, le lien de mon commentaire précédent vers voxeu est mort (la référence n’existe plus sur le site), mais comme je suis opiniâtre, j’insiste avec ceci : http://www.economics.harvard.edu...
On peut même trouver d’autres raisons pour laisser l’essentiel de la glace à Léa…
Léa commence la négo, elle va faire une proposition à son avantage! Elle propose donc 2/3 pour elle et 1/3 pour théo.
L’espérance de glace au tour suivant étant 2/3 à se partager, (donc 1/3 chacun), Théo peut refuser la première proposition de Léa: en effet il obtiendrait la même dose de glace qu’au 1er tour, et en plus il aurait la satisfaction que sa soeur n’en ait pas plus que lui!
Léa étant bien consciente de ce risque va finalement proposer dès le début un partage équitable à 50/50 !
Je ne suis pas très forte en math mais vu que Léa est une fille – et qu’elle est donc beaucoup plus maline que son frère malgré son jeune age – je pense qu’elle devrait donner toute la glace à son frère. La suivante sera bien sur la sienne. Si les parents se montraient suffisement genereux par la suite et achetaient une glace à chacun, il lui resterait toujours un joker pour se jouer ce qu’elle préfère: una ration de frites, la dernière partie de flipper etc…
Pas évident
Léa doit offrir une offre qui soit juste un peu mieux pour Théo.
Théo se retrouve dans la même situation que Léa au prochain tour.
Cherchons une offre indifférente pour Théo:
Si p est la proportion de crême glacée pour Léa alors
proportion pour Léo s’il accepte: 1-p
proportion pour Léo s’il refuse: 2/3 p puisqu’il se retrouve dans la position de Léa.
On cherche p satisfaisant (1-p) = 2/3(1-p) ce qui donne p = 3/5
Mais si l’offre que Léa propose à Théo: 3/5 pour elle 2/5 pour elle est neutre pour Théo, elle est loin d’être neutre pour Léa qui perdrait beaucoup si Théo refuserait. Donc, elle doit bonifier son offre juste un peu pour la rendre avantageuse pour Théo.
Donc réponse: 3/5-epsilon pour Léa, 2/5+epsilon pour Théo.
Avec tout ce temps perdu à réfléchir qui mange quoi…la glace aura fondu :)) Désolé.