Quand l’individu supérieur est inférieur à la moyenne

« The trouble with the world is that the stupid are cocksure and the intelligent are full of doubt. ». Bertrand Russel

Il y a trois jours, dans une file d’attente interminable, j’avais un groupe de gens contents d’eux devant moi. Leur discussion, destinée à être entendue de tous, tournait autour de leurs talents intellectuels, visiblement hors du commun (et du fait qu’ils connaissaient par cœur le pénible endroit où j’étais ; ces cons y venaient souvent). C’est ainsi qu’un crétin boutonneux adolescent exprimait librement le fait qu’il était évident qu’il était bien plus mature que la plupart des jeunes de son âge. Imaginant que cela était dû au fait qu’il passait son temps à avoir des discussions chiantes, je m’apprêtais à passer en mode ears off , quand le crétin trentenaire qui le devançait a sorti une perle…

Voici ses mots :

« Ah, mais des études montrent que 90% des gens pensent avoir un QI supérieur à la moyenne. Ce qui [petit rire entendu], par définition, est impossible. ».

Voyant rouge qui s’allume dans mon cerveau embrumé de touriste résigné, et passablement contrarié par le fait d’avoir à supporter tous ces gens autour de moi, pour faire un truc dont le sens m’échappe encore à ce jour (d’aucuns appelleront cela l’amour paternel, mais c’est des conneries). Non, c’est faux, me dis-je. Connexions remises en place, et parce que je ne pense pas avoir un QI supérieur à la moyenne, je compile un ou deux exemples, qui démontrent clairement que ce type est non seulement insupportable à moins de dix mètres mais, qu’en plus, c’est un bouffon.

Ce génie autoproclamé confondait la notion de moyenne et celle de quantiles et ignorait la notion de dispersion d’une distribution statistique. Profitons donc de l’existence des idiots imbus de leur personne pour nous éduquer un peu (pas beaucoup, j’ai la flemme). Commençons par montrer, à partir d’un exemple, que, oui, il est possible d’avoir une population dans laquelle 90% des individus ont un QI supérieur à la moyenne, tout en respectant la définition d’une moyenne.

Prenez un groupe de 10 personnes. Voici leurs QI : 120 120 120 120 120 120 120 120 120 110. La moyenne des QI est de 119, (9 x 120 + 110) /10. 9 personnes sur 10 ont 120 de QI. Donc, 90% ont un QI supérieur à la moyenne. Notez que vous pouvez faire la même chose avec 9 QI de 150 et un QI de 140. Ça marche aussi et, au passage, ça nous permet d’éliminer l’idée qu’il faut des gens très bêtes dans la population pour que ça marche (je pars du principe que 140 de QI ne dénote pas franchement une bêtise marquée…). En réalité, on pourrait faire pareil avec des gens très bêtes et des gens très intelligents, entourés de gens ordinaires. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Une valeur énorme peut la modifier radicalement. Une valeur ridicule peut la modifier aussi de façon spectaculaire. Et des valeurs énormes couplées à des valeurs ridicules nous ramènent au point de départ, tant qu’elles comptent de la même manière dans le calcul (ce qui est le cas avec ce type de moyenne simple). Aucune définition de la moyenne ne nous dit que X% de la population puisse ou non se situer en dessous ou au dessus de la moyenne. Pour une raison simple : la moyenne agglomère les données et ne tient pas compte de leur répartition dans la population. Tout ce qu’elle nous dit, dans le cas présent, est que si on répartissait équitablement l’intelligence, à partir du potentiel global dont on dispose, on arriverait à tel chiffre. Ne pensez plus en termes de QI, mais de revenu. Eh oui, c’est plus clair…

Quand, il y a quelques années, j’ai fait un stage de récupération de points de permis, le gentil animateur nous avait dit un truc du style, avec, lui aussi, un petit sourire entendu, « les trois quarts des gens pensent conduire mieux que les autres conducteurs ». Et là, il avait raison, c’était drôle. Car, tout au plus, un individu devrait pouvoir penser ça et avoir raison. Bon, admettons que le gars pense qu’il fait partie d’un groupe qui conduit mieux que les autres. Ce groupe ne peut excéder 50% de la population. Si vous êtes deux et que vous pensez conduire mieux que les autres, vous représentez 50% de la population. Si vous êtres 3 et que vous êtes deux à penser cela, il y en a forcément un qui a tort, alors que 66,67% de la population pense avoir raison. Peu importe que vous conduisiez mieux ou pas que les autres. Individuellement vous pouvez le penser (et, vous, en particulier, pouvez avoir raison). Mais collectivement, il va y avoir une incohérence. On est sûr que quelqu’un se trompe et se surestime. Pour reprendre l’exemple du groupe des 50% de meilleurs conducteurs, leur habileté au volant, si on peut la mesurer (par exemple, par un indicateur du nombre d’accidents par km parcourus ou que sais-je encore…), déterminera la médiane de la dextérité de conducteur. La médiane est la valeur qui partage en deux une distribution statistique pour un critère donné. La médiane des revenus est la valeur en dessous de laquelle on trouve 50% de la population et au dessus de laquelle on trouve les autres 50%. Dans le cas du QI, la médiane ne nous dit absolument pas quel est le plus haut QI, ni le plus bas. Ni même si le plus intelligent est carrément bien plus intelligent que le deuxième plus intelligent ou à peine plus intelligent. La médiane vous classe et vous dit à quelle partie vous appartenez. Et si 90% (ou même 51%) pensent avoir un revenu (ou un QI) supérieur à la médiane des revenus, c’est qu’au moins 40% (1% pour 51%) se trompent (« au moins », parce qu’il peut y avoir des gens qui sont au dessus et pensent être en dessous…).

Vous allez me dire que mon exemple sur les QI est particulier. Vous avez raison. J’ai choisi une dispersion très spéciale des QI. 90% ont le même QI, ce qui donne une dispersion quasiment nulle. Si les QI sont plus dispersés (étalés) d’un individu à l’autre, alors le chiffre de 90% va être plus difficile à atteindre. En fait, la répartition des QI dans une population suit une loi normale. La plupart des individus (dans les 70%, voir l’image de titre) se situent entre 90 et 110. La moyenne est de 100. En réalité, 50% sont au dessus. Hum, bizarre, ce chiffre… En fait, non. Les tests de QI sont construits de sorte à ce que 50% de la population ait un score supérieur ou inférieur à la moyenne, arbitrairement fixée à 100.

Bon sang, mais ça remet tout en cause alors ! Notre abruti avait raison ! Par définition, 90% des QI ne peuvent être supérieurs à la moyenne ! Les tests sont construits pour que ça n’arrive pas. Merde, alors, j’étais derrière un groupe de spécialistes des tests de QI, qui savent que, « par définition », fait référence à la méthodologie des tests de QI. À vous de voir ;-).

Enfin, en tout cas, je suis heureux de constater que mes abonnés Twitter sont très majoritairement à l’aise avec les questions de moyenne. Pour ceux qui se sont trompés, je conjecture qu’ils n’ont pas fièrement répondu en pensant « Par définition, évidemment non, mon QI est plus élevé que la moyenne ». C’est l’été, on a le droit.

Note : la formulation correcte est « aiENt un QI supérieur ». Une faute que je fais souvent, parce qu’en dessous de un, j’ai du mal à mettre un S. Et pourtant, ils sont 90. Mea culpa.