The number’s guy poste un petit test de probabilités. Je traduis les questions ici. Donnez vos réponses dans les commentaires, je donnerai les miennes plus tard. Si vous cherchez bien, il y a les réponses à de nombreuses questions sur le blog, dans le cadre de quizz passés.
– 1000 athlètes passent au contrôle antidopage. 10% d’entre eux sont dopés (mais on ne sait pas lesquels à l’avance). Le taux de faux positifs du test est de 1%; le taux de faux négatifs est négligeable. Un athlète est positif : quelle est la probabilité qu’il soit vraiment dopé?
– Vous savez qu’une famille a deux enfants, et que l’un d’entre eux est une fille. Mais vous ne vous souvenez plus si les deux sont des filles. Quelle est la probabilité que cette famille ait deux filles?
– Vous savez qu’une famille a deux enfants, et que l’un d’eux est une fille, dont le prénom est très rare (un prénom porté par moins d’une femme sur un million). Quelle est la probabilité que cette famille ait deux filles?
– Au baseball, le champion de la ligue américaine est meilleur que celui de la ligue nationale : il a 55% de chances de gagner un match contre son adversaire (il n’y a pas de nuls). Les deux équipes jouent une finale au meilleur des 7 matches : on peut vérifier qu’il y a alors 4 chances sur 10 que le champion de la ligue nationale gagne la série. Quel est le plus petit nombre impair de matches de la finale qui garantit que le gagnant est le champion de la ligue américaine avec une probabilité de 95%?
– dans un jeu télévisé, vous pouvez ouvrir une porte parmi trois. Derrière l’une d’entre elles, il y a une voiture : derrière chacune des deux autres, il y a une vache. Vous choisissez (sans l’ouvrir) la première porte. Le présentateur du jeu (qui sait ce qu’il y a derrière les portes) ouvre alors la porte numéro 3, derrière laquelle il y a une vache. Il vous propose de conserver votre choix ou de choisir la porte numéro 2. Que devez-vous faire, si vous préférez les voitures aux vaches?
– 60% des électeurs d’un canton préfèrent H. Clinton à B. Obama. Si vous choisissez un échantillon de 5 électeurs de façon aléatoire, quelle est la probabilité qu’exactement 3 sur 5 d’entre eux préfèrent Clinton à Obama?
– Dans un grand nombre de données chiffrées (par exemple, les résultats financiers des 500 premières entreprises américaines) quelle proportion des nombres doit commencer par le chiffre 1 (réponse avec 5 décimales à 5% près).
– Quel est le plus grand nombre, celui des mots anglais de 6 lettres dont la 5ème lettre est un n, ou celui des mots anglais de 6 lettres finissant par "ing"?
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Juste pour les questions 2 et 3, les couples GF et FG sont les mêmes car l’ordre ne rentre pas en compte donc on a bien une proba de 1/2.
1)100/109 = ± 0.9174
2) 1/3 si on ne sais dire si la fille dont on se souvient est l’aînée ou la cadette, ½ sinon.
3) idem
4)269 première binomiale cumulé Bi( (2n+1),n,0.45) dépassant 0,095
5)En Proba ½ mais si on postule que le présentateur joue contre nous, le fait qu’il donne une nouvelle information sans laquelle on n’aurait pas changé il faut garder ce choix.
6)± 0.3456
7)Entre 1/2et 1/9 et cela converge vers 1/9 si on considére une population de chiffre de plus en plus grand . Par exemple si on considère tout les valeur entière de manière équiprobable de 0 a 10^12 on obtient une proba de ± 0,111111111 , par conte entre 0 et 1 => ½
8)Celui des mots anglais de 6 lettres dont la 5ème lettre est un n. Celui des mots anglais de 6 lettres finissant par "ing" est un sous ensemble du premier. Au pire, il serait de même taille
Add : pour la question 3. Si ça se trouve, les gens hésitent à donner un prénom très rare à leur 1er enfant. La hardiesse vient avec l’habitude. Supposons qu’on ne donne un prénom rare qu’à son deuxième enfant ; alors il y a une chance sur deux que l’autre enfant soit une fille :
GG
FG
GF*
FF*
On peut aussi faire l’hypothèse inverse : les gens excentriques donnent un prénom rare à leur premier enfant, par exemple Obiwan Kenobi, puis, comme ils en ont marre d’essuyer les regards ébahis, de devoir épeler le prénom devant chaque fonctionnaire, de voir que leur gosse subir des moqueries, ils optent pour un prénom plus classique pour le second enfant. Encore une chance sur deux :
GG
GF
*FF
*FG
Après avoir lu les réponses des autres lecteurs, il m’apparait que je me suis trompé pour le "paradoxe de Monty". C’est autrement plus contre intuitif que l’avantage comparatif!
Merci pour ce petit quizz!
1) 100% – 1% d’erreurs = 99% de chances.
2) 50%, comme on ne peut pas discriminer: on ne sait pas combien de chances les parents ont d’avoir une fille plutôt qu’un garçon…
3) La question "quel est l’âge du capitaine sachant qu’il a un cheval blanc"… Même réponse que plus haut.
4) Aucun ^^"
5) La 3eme porte s’ouvre, ce choix disparaît: on a à présent le choix entre les portes 1 et 2. 50% de chances que cela soit la 1 qui cache la voiture… 😉
Toutefois, le joueur avait choisi la porte 1 alors qu’il n’avait que 1/3 chances qu’elle cache la voiture. A présent la porte 1 a 1/2 chances… Donc il jouera a pile ou face la porte 1 ou la porte 2.
6) 100% de probas car 60% préféreront Clinton, soit 3/5. On parle bien de probabilités et pas de divination 😉
7) La même proportion de nombres que celle des nombres qui commencent par un autre chiffre, toutes choses égales par ailleurs…
8) Le 2eme car il inclut le 1er en sous ensemble
Sur 1000 athlètes il y aura en moyenne 900 non dopés qui donneront en moyenne 900*1%=9 faux positifs ainsi que 100 vrais positifs. La proportion de dopés dans les contrôlés positifs est donc 100/109 soit 91,7%.
Sachant qu’il y a au moins une fille, il y a trois possibilités {G,F}, {F,G} ou {F,F} qu’on supposera équiprobables (en fait 105 filles pour 100 garçons) On en déduit qu’il y a 1 chance sur trois d’avoir deux filles.
Ce dont je me souviens c’est qu’un enfant avait un prénom rare et que accessoirement cet enfant était une fille. Je m’en souviens du fait de cette particularité non du fait que c’était une fille, par contre j’ai totalement oublié l’autre enfant qui a une chance sur deux d’être une fille. Nous avons donc une chance sur deux d’avoir deux filles. On peut poser le problème différemment en disant que la famille avait un enfant aveugle et sourd, ce qui m’a profondément marqué, et je me souviens que cet enfant était une fille. Je m’en souviens de part son handicap et nullement parce que c’était une fille. L’autre enfant n’ayant rien de particulier je l’ai totalement oublié, il y a une chance que ce soit une fille ou un garçon.
Là il faut faire un peu de calcul. Si la partie se joue en 2n+1 matchs, il faut sommer les probabilités de gagner n+1, n+2,…,2n+1 matchs. Soit P_n=Somme sur p allant de n+1 à 2n+1 C(2n+1,p)(55/45)^p(1-55/45)^(2n+1-p). Au final on trouve qu’il faudra 271 matchs pour que le champion de la ligue américaine ait 95% de chance au moins de gagner le tournoi.
Il y avait au départ une chance sur trois que la voiture soit derrière la porte désignée par le candidat. La voiture n’ayant pas bougé entretemps, il y a toujours une chance sur trois que la voiture soit derrière cette porte après que le présentateur est ouvert une porte derrière laquelle se trouvait une vache. Nous en déduisons que le candidat a intérêt de changer de porte s’il veut avoir 2/3 de chance de gagner.
P=(5*4/2)*0.6^3*(1-0.6)^2=0,3456
Il y a 34,56% de chance que trois candidats exactement choisissent Clinton.
La loi de Benford, qui est très bien vérifiée, nous dit que la probabilité que le premier chiffre soit un n est Log(1+1/n) soit pour le 1 p=Log(2) soit 30% (Log décimal). Pour s’en convaincre on choisira un nombre de trois chiffre par exemple 251 et l’on cherchera sur Google le nombre de sites obtenu avec les nombres du type p251 avec p allant de 1 à 9. On trouvera que 1251 rafle 30% des sites.
Les mots en _ _ _ i n g sont aussi des mots en _ _ _ _ n _, il y a donc plus de mots en _ _ _ _ n _ que de mots en _ _ _ i n g.
Les règles du jeu télévisé ne sont pas bien claires. Si vous ne gagnez que quand vous ouvrez vous-même la porte, il ne faut surtout pas changer de choix.
En effet, si derrière la porte que vous avez choisie se trouvait une vache, le présentateur aurait ouvert la porte derrière laquelle se trouve la voiture, vous faisant perdre.
Il faut juste pondérer cette analyse par le quotient intellectuel moyen des présentateurs, ce qui laisse subsister un peu d’aléa.
La question 5 m’a longtemps perturbé, et me perturbe toujours.
Statistiquement, il y a effectivement un rapport de 2/3 1/3 entre les deux portes. Et sans appel, un individu qui en laisse le moins possible au hasard change de porte…
Mais imaginons que l’individu en question perde.
Première remarque : il se mordra les doigts d’avoir été rationnel. Et se dira peut-être qu’il n’a vraiment pas de chance, ce qui est un comble pour quelqu’un qui utilise les statistiques pour échapper aux aléas.
Deuxième remarque : est-il normal d’utiliser les statistiques pour un évènement exceptionnel? En effet, cet individu ne joue qu’une fois.
Je comprends bien le raisonnement selon deux points de vue : celui du présentateur qui voit défiler les candidats, et l’éventualité d’une ligue secrète de joueurs prêts à se partager les gains.
Mais dans le cas d’un joueur qui a droit à une seule tentative, à quoi servent les statistiques??? Merci de m’aider 🙂